高阶思维教学的“三重门”——刍议核心素养视域下的数学思维教学

洪 玲 林 风

（福州第三中学，福建 福州 350025）

数学是思维的体操，但是教学中常常有些教师自觉或不自觉地把“思维的体操”窄化为“解题的体操”.把数学学习停留在思维的低层次上，使得活跃的思维不断地萎缩、钝化，常常被异化为玩弄技巧和套路，成为应对考试的一种技术.窄化或浅表化数学思维的原因有种种，其中对低阶思维和高阶思维的概念、价值和意义的认知缺失无疑是一个重要原因.

当下数学教学常常受限于现成性、实体性的知识信念，强化和强调陈述性知识和程序性知识的记忆和训练，大量的死记硬背、套题刷题，题海战术，加课加时的做法，数学教学停滞于低阶思维的“围城”里，增量不提质，缺乏真正意义上思维教学，陷入越教越困惑、越教越沉重的“死循环”，难以构成促进学生自觉运用、迁移的知识的能力和意愿.当前课程改革强调要着眼于培养学生适应个人终身发展和社会发展所需要的人的思维品质与关键能力，其中思维教学无疑是数学育人最具学科性、特质性的要素之一.教学实践表明思维的含金量和高低层次决定了数学教学的质量和品质，高中学生思维比较活跃，乐于思考、喜欢挑战，思维具有很强的可塑性，是培养高阶思维的最佳时期.要突破应试教育的“窠臼”，促进数学教学质量的提升，必须从低阶思维走向高阶思维，让高阶思维成为具有超越课堂和知识之外的持久价值和迁移效应，在数学教学转型和变革时期数学教学贯穿高阶思维的培养符合新课程标准理念和学生认知规律和水平，是适应时代发展的应有之举.

高阶思维教学着眼于将知识视为现成概念或客观实体的知识信念，把知识从客观符号、规律定理转化为具备资源活力、能够迁移与运用的工具、资源，通过个体情境性、问题性的知识迁移、灵活运用解决复杂问题，实现知识的价值.［1］高阶思维不是一个时尚的概念新词，也不是一种新瓶装旧酒的炒作，而是观念的一次更新和重构，要让它落地开花必须开启教学“三重门”——问题教学、核心素养和深度学习.

一、问题教学：开启高阶思维的动力

无须讳言，问题是数学的心脏，也是数学思维的底色，没有问题便没有数学.当下的数学教学受制于应试需求，囿于各种考核指标，把数学习题等同于问题解决，数学课程三年并作两年，以教辅顶替教材，重解法轻概念，重结果轻过程，忽视学习情境的作用，忽视数学自身的学科特性，课堂缺乏真实、复杂和生动的学习情境，知识的活力与思维的张力受制于课时、考试的羁绊，生吞硬咽、囫囵吞杏.记忆、累积、模仿、重复的低阶思维的学习方式成为数学学习的“不二法门”，思维的严谨性被异化为试题的挖坑设陷，思维的灵活性异化为解法的作秀魔法，思维的创新性异化为解题的奇技淫巧.

思维大师杜威认为：高阶思维不是自然发生的，它是由“难题和疑问”或“一些困惑、混淆或怀疑”引发的.思维起于问题、贯穿于求解于探究之中，问题教学无疑是开启高阶思维的最大动力.［2］没有问题思维就难起波澜，要引爆学生思维的燃点，就必须做好“四立”，立足学生，立足课堂，立足教材，立足问题.概念、公式、性质、问题都是激活思维的素材和燃点，面对新的情境、新的知识、新的视角、新的思维，学生必然产生许多新的思考，新的挑战，新的困惑，新的问题，似是而非的问题必然引发许多“为什么”“是什么”“怎么办”的纠结与追问.数学教学表明，大量概念变式、公式变化、性质应用以及课堂上发生的种种意外问题“事故”等的最能引发学生探究的兴趣和思维的挑战，充分利用典型知识、核心内容、困惑问题的可以提升课堂思维的“热度”，问题的“挑战性”能吸引眼球，问题的“开放性”能大开脑洞，问题的“层次性”让思维“跳起来够得着”.教学中需要读懂读透教材，让问题来自教材高于教材，在教材字里行间揭示问题的切入点和思维连接点.以人教社（选修2-1 椭圆）为例，教材没有简单地罗列知识“清单”和解题的“降龙十八掌”，没有简单地呈现椭圆定义、方程、解题要点，更没有大量的题型和解法范式，而是通过设计一系列围绕知识内容和学习任务的引导性材料，一段导言、一个提示、一个场景和一个思考，问、探、思、行，渐行渐远，让学生在体验中学习、在探究中实践、在思考中辨析：（1）通过《探究》让学生动笔实践，并说出移动笔尖（动点）满足的几何条件，强调知识始于实践、重于体验，思考的起点因体验实践而生发.（2）《思考》观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使得椭圆的方程简单，引发学生思考如何从具象的椭圆走向抽象的椭圆方程表示以及坐标系的选择与优化，分析、综合、评价和创新等高阶思维方式穿插其间，潜移默化.（3）《思考》观察椭圆图形，从中找出表示的线段，数形结合思想方法逐渐渗透.（4）《思考》已知焦点在y 轴上，且焦点坐标分别为（0，-c），（0，c），那么椭圆的方程是什么？数学的多元表征，形式多样促进思维的多样性和严谨性的自然合理地生成.（5）《思考》你还能用其他方法求它的方程么？哪种方法简单？你有什么体会？在知识的递进过程中，学会思考，学会优化，提升思维的品质.（6）你能发现椭圆与圆之间的关系？?新旧联系，比较中深化思维的广度.（7）《探究与发现》为什么截口曲线是椭圆？欣赏数学家Germinal Dandelin 巧妙、极具创造性的证明方法，品鉴思维的深刻性和创新性.生发于问题、生长于求解、升华于思考，每个新知识、新概念、新知识、新方法都会激发从“0 到1”的追问，点燃从“1 到∞”的联想，在教材旁注的字里行间进行“补白”“填空”“稀释”“铅华”的知识被“活化”为思想的种子，碎片化的内容被律动成思维的彩练，知识链、问题链、思维链明暗交错，三线并行，彼此渗透，相互推进.课堂变成充满对话互动，你问我辩，思维碰撞的“课本剧”，处处激荡着思考的火花，时时洋溢着思维的波浪.

当然，更多的问题需要教师在“用教材教”的过程中细心钻研，深入挖掘，让固化的知识“解冻”为思维的因子.例如在等差数列教学中，从定义出发，形如an+1-and（d为常数），抓住数列问题的“结点”和思维的“盲点”，“项、相邻项、差、常数、递推关系、几何背景”等虽是只言片语，深入其间就会撩起思维之火.例如，（1）d> 0,d=0,d< 0 表明数列具有怎样的性质；（2）把递推关系an+1-and(d为参数）的任意前后两项差转化为任意一项与首项的关系（即an=a1+(n-1)d）；（3）任意两项之间是什么关系，即an-am(n-m)d，（4）an f(n)即通项视为n 的函数，那么等差数列的通项的几何意义是什么（一条直线上的离散点；d 的几何意义为点列所在直线的斜率）；它的表达形式是什么，……从横的拓展看，（1）an-an+1=d（常数）与等差数列定义有何差别；（4）若把下标从相邻n+1,n 改为n+2,n,即an+2-an=d(d为常数），这时{an}与等差数列有何区别和联系；（3）把相邻两项an+1+an做数学化处理，由相邻两项的“差”改为“和，积、商”等，会得到怎样的数列，即an+1+an=d（等和数列），an+1·an=d(d≠0)（等积数列）；=q(q≠0）（等比数列）；（4）如果把an+1-an=d(d为常数)中的d 改为变量n，如an+1-an=n，则{an} 具有怎样的特征（二阶等差数列）……从常数到常数的符号；从常量到变量；从前后两项关系到任意两项关系；从“等差”到“等和”“等商”“等积”……这些问题不是作为一种题型、一个知识、一种技法，简单地、碎片化地罗列和叠加，而是从知识的发生、发展、深化的逻辑顺序自然合理地进行问题化、数学化的链接和推进.对知识的特性和规律不断进行比较、归纳、抽象、变式和概括，从“表象特征”走向“内在价值”，知识与问题情境相生相融，数学与现实合理对接，内在的数学逻辑与学生认知感觉相融相合，各种思维活动，发散思维、聚合思维、形象思维、抽象思维等在问题的发生、转化、解决和拓展中慢慢滋生和孵化，数学课堂便会充满勃勃生机.

二、核心素养：夯实高阶思维的落点

高中数学新课程六大数学核心素养提出“三会”，即“会用数学眼光观察世界、会用数学思维思考世界、会用数学语言表达世界”.数学核心素养应当成为高阶思维教学的落脚点.对数学知识（问题）的本质的理解程度决定了数学思维的品质、深度和高度，思维的品质不只局限于知识的容量、技能的高低和刷题的速率，更需要关注的是要超越表层的文本解读、符号推演和解题套路，深入理解和应用数学的逻辑和意义自然、有序、逐步深入剖析问题、发现问题和解决问题，将知识内隐的、微观和特质的挖掘出来，发挥知识内容的核心价值发挥其“核裂变”作用.教学中经常发现不少学霸可以秒杀难题，笑傲题海，但深究其因却常常闪烁其词，“数竞做过”“感觉应该如此”“凭直觉灵感”等都是常见的说辞，虽知数学“器”之用，却不知数学“道”之理，虽有高超的解题技法，却无高阶思维的素养，知其然不知其所以然者为数不少.没有高阶思维的数学学习难以抵达思考的深度，就难有思想的纵深感和灵动感.

从概念的生成、公式的引入、模型的建构到问题的解决、知识的应用，从潜意识到显意识，从无序到有序，从经验到理性，无一不伴随着思维从低阶走向高阶，从具象—形象—抽象—心象映射出认知深化的趋势，核心知识—核心问题—核心能力—核心素养诠释着内隐其间的学科教育价值和思维品质，通过比较、联想、归类、迁移、创新可以促进高阶思维的形成和培养.以《基本不等式》解题教学为例，如果止步于讲考题类型、公式变形、应用技巧，什么拼凑法、常量代换法、多次应用法、一正二定三等，积要最大和要定值，积要最小和要定值等等，可以有益于短时提分，有助于一时之用，而疏于从数学的本质意义在诠释和展开，弱化蕴含的思想内涵，难免“以其昏昏使人昭昭”，知识只会“雁过无痕”，思维只是“镜中观花”.事实上(a> 0,b> 0)，看似简单，内涵隽永，蕴含着丰富的数学意蕴.事实上（1）借助圆中的直角三角形射影定理的“无字证明”，数形结合，彰显的是跨界思维（见教材人教版必修5）；（2）基本不等式公式是齐次式的一种放缩关系，是透过表象直达本质的一种深刻性思维的表现，由此产生“等幂转化”求最值，如，设x,y为实数，若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是_______（解法：通过平方(2x+y)2=…达到齐次的目的，即等次幂转化法）；（3）要从两数之和的算术均值大等于这两个数的几何均值，从两数到两式是公式的一种升华，生发于发散思维，如，设x>0，函数y=x+的最小值是_____，通过换元t=x+是一种转化思维的应用，起到四两拨千斤的作用；（4）从二元到n 元，即b+的最小值的求解就会举步维艰，不易想到b+=(b-a) -a+≥3…在解题过程中的变式教学，一题多变、一题多解、多解同质等不只是一种简单的记忆唤醒和强化、一种技能的“肌肉”训练、一种题型的范式再现，而是充满观察、分析、综合、抽象、概括、归纳、演绎、联想等一系列丰富的和高层次的心智活动和思考能力的过程，应当是一次次思维拔节成长的历练，是数学素养熏陶和数学意识自觉自醒的提升过程.

三、深度学习：彰显高阶思维的张力

高中数学新课程提出要通过数学学习逐步形成有数学特征的关键能力、必备品格与价值观念，促进学生思维能力、实践能力和创新意识的发展，数学在形成人的理性思维、科学精神，促进人的智力发展中发挥着不可替代的作用.苏霍姆林斯基说过：在人的心灵深处.都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、研究者、探索者.从“记忆”“理解”与“应用”的低阶思维的累积与发展必然呼唤和催生“分析”“评价”和“创造”的高阶思维，从知识教学、解题教学、应试教学走向问题教学，走向核心素养，进而走向深度学习，使数学知识、方法和价值观真正与学生内部心理认知体验有机结合起来.近年来，应试教育广受诟病，大量重复训练、机械灌输的教学方式造成的惯性思维、定势思维、惰性思维的弊端比比皆是，考场上是学霸，能力却很低，缺乏发现思维、创新思维和批判精神和思考能力，缺乏可持续发展的学习力，缺乏适应未来发展所需要的学习力和创新力.

“教育的本质是成长和解放”“人因思想而伟大”，深度教学强调“以人为本”，关注高中生对理性精神、自主探究的心智诉求，将教育目标中的学生个体意义凸显出来，通过思维的高度参与和批判性思辨来激发学生内在的思维能量，打破从教材到教辅，从解题到考题的边界，追求学生对知识的深度体验、深度理解、深度探究，从而促进高阶思维在学生内心深处“扎根”“生长”，让学习上升为学习成长和发现探索的过程.

近年来，高考试题设置新颖的问题情境（如：维纳斯、金字塔，太极图，新冠病毒防治等），到数学知识产生诸多的新概念、新问题（如准周期、等和数列、部分奇函数等），以及开设的高中数学研究性学习，等等，着眼于让数学学习不再是简单的知识积累和递进，更强化的是知识的转化和思维的裂变与升华，从传统简单的知识“复制”走向思辨和发现创新，走向探究与发现，从单一的“窄化”知识走向“宽度”的自主探究和学以致用.在教学中要有意识地留出时间让学生思考，体验和探究，以慢时间换取思维的“大空间”.例如，有一次在复习基本不等式时，笔者讲评问题：已知曲线=1 上任意一点P(x,y)，则点P 到原点的最小距离为____，从到x+y再到x2+y2是“基本不等式链”求解的一条明晰的“路线图”，也是熟悉的解题套路……讲评完毕，突然有位学生换个角度思考，提出二元变量关系本质是曲线性质的一种表征，可以在同一坐标系观察、想象曲线簇x2+y2=1,x+=1 的演变过程，合情推理它们的规律应该从凸到平再到凹的渐变过程，根据图象特征只要求出y=x与=1 的交点为，因 此“一花引来万花开”，话音刚落，另一位学生提出，根据对这簇曲线的渐变趋势观察，是否可以合情推理出得出圆角正方形的方程为x20+y20=1(n∈N*)，它的一般形式为x2n+y2n=1(n∈N*)，……此类“节外生枝”的案例在教学中比比皆是.在课外开展的校本研究性学习更是学以致用、深度学习和自主探索的新型学习方式，学生研修了的诸多小微课题（如：《窗户的面积与采光量的问题》《数列在银行利率计算中的应用》《病毒检测中逐份检验与混合检验的选择及其概率原理》等，表明这种学习方式是倡导学生自我深度学习的一种新模式，学生学在当下，自主探究，发现创新，是促进思维生发、生长和发展的有效途径，也是一个学会学习、学会转化，学会迁移、学会创新的自主发展的有效方式.

高阶思维不是高难度、高技巧、快进度的“高大上”代名词，也不是简单地追求某种“达标”的一时之举，也不是一种应景的时尚热词，它不局限于一种知识、技巧和方法的获得，更专注培养一种“自成长”的思维方法和学习智慧，同时它不能一蹴而就，而应该像“熏锅底”一样是一个慢成长的过程.同时，高阶思维不是一成不变的，低阶思维到高阶思维是一个不断更迭换代的变迁过程，学习中的每一次的挑战、每一种探索和每一次的跨越都需要思维的不断解法、不断更新、不断超越，这样才有思维的生命力和生长力，真正实现“知而获智，智而远达”，登临学习的“智”高点.