巧用弧的特征解决实际问题例讲

漆玉琼

(江西省宜春市宜阳学校 336000)

随着新课程的实施，中学数学的教学非常重视对学生独立思考、逻辑推理、数学应用等能力的培养，特别重视应用数学方法解决实际问题的能力的培养.几何中弧长与面积有关的计算题也是中考考查圆有关知识的重点，而且题型设计新颖、独特，常常结合实际生活中的实物为模型，考查学生数学建模的核心素养.

例1如图是一个桌面会议话筒示意图，中间BC部分是一段可弯曲的软管，在弯曲时可形成一段圆弧，设圆弧所在圆的圆心为O，线段AB，CD均与圆弧相切，点B，C分别为切点，已知AB的长10cm，CD的长为25.2cm．

(1)如图1，若话筒弯曲后CD与桌面AM平行，此时CD距离桌面14cm，求弧BC的长度(结果保留π)；

分析本题在第一问，由线段CD与AB平行的特殊情况入手，通过CD与AM距离探求获得弧BC的半径为4cm，圆心角为90度，然后可以直接利用弧长公式求出弧BC的长度.

解(1)如图1，∵线段AB,CD均与圆弧相切，∴OB⊥AB,OC⊥CD,

∴CD∥OB∥AM,∴∠BOC=∠OCD=90°.

∵CD距离桌面14cm,AB的长为10cm,

∴半径OC为4cm.

第二个图形由特殊化为一般情况，当弧BC的圆心角发生改变，此时要抓住弧的形状变了但是弧长不变，利用弧长公式可直接获得新弧的半径CO，再利用三角函数求出C点到BO的距离.

(2)过点C作CG⊥OB于点G.∵弧BC的长度为2πcm,

如图2，过点C作CN⊥DM于点N,则CN∥OB.

∴∠OCN=∠BOC=60°.

∵∠OCD=90°,∴∠NCD=30°,

∴DM=DN+CG+AB=12.6+5.2+10=27.8(cm).

∴话筒顶端D到桌面AM的距离是27.8cm.

本题有个易错点：很多学生误以为图1与图2中弧的半径不变而造成错误地求出点C到BO的距离，因此教师在引导学生分析时要尽可能使用直观教学，让学生找到题目中的变量与等量，从而正确运用条件求解.

例2(2018 金华)如图3是小明制作的一副弓箭, 点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC=60cm.沿AD方向拉弓的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长.如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1=30cm,∠B1D1C1=120°.

(1)图4中，弓臂两端B1C1的距离为____cm.

(2)如图5，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为____cm.

分析在(1)问中由AD1=B1D1=C1D1可知图形由弓形拉成扇形，在已知圆心角的条件下，利用直角三角形即可求出B1C1的长度.

解(1)连接B1C1，交AD1于E,则AD1垂直平分B1C1.

在Rt△B1D1E中，∵∠B1C1D1=120°,∴∠B1D1E=60°.

在(2)问中，图形进一步变化，扇形拉成半圆，图形由一般到特殊，此时弧B1AC1的形状变但是长度不变，从而可求出半圆的半径，进一步在直角三角形中可求出D2E，再获得AD2的长度从而解决问题.

(2)在题图2中，∵AD1=30,∠B1D1C1=120°,

连接B2C2交AD2于E1,则AD2垂直平分B2C2,

本题与例1有类似，同样是解题时要抓住弧BC的变化，由圆心角120度的弧变化成半圆后，弧长不变，但是半径也变了，所以需要通过弧长作等量可求出新弧形下的半径.在解题过程中仍然有不少同学误以为半径不变发生错误.

反思总结：以上两题无论是从一般到特殊，还是从特殊到一般，都是先通过已知条件易计算出该段弧的长度，再利用弧形变而弧长不变，再求出新的弧形下的半径，从而解决新的问题.其实质就是引导学生抓住变式前后的联系与区别，培养学生类比、联想、转化等数学思想方法的能力，让学生感受到数学推理的乐趣.