吾爱数学，吾更爱数学文化——在小学数学课中渗透数学思维

胡晓倩

(重庆市沙坪坝小学 重庆 400030)

2014年秋天，一个偶然的机会，我有幸参与了某办学单位组织的有关“学习价值”的讨论会。讨论过程中，学生家长与教师们各抒己见，期间，有部分家长提到了数学学习的价值，他们固执地认为：生活中用到的数学只是简单的算术知识。数学给予的一切纯粹是智力游戏，无任何实际意义。我不禁思考：小学数学教学到底要教给学生什么？难道仅仅是为了学习课本上的数学知识？仅仅是为了应付某次考试？仅仅是为了会解答某类难题？

《课程标准（2011年版）》明确指出：数学课程固然应该教会学生必要的数学知识，但绝对不仅仅以教会数学知识为目标，更重要的是让学生在学习这些结论的过程中了解数学文化，获得数学思维。于是，我开始了关于“数学文化之数学思维”的探索与研究[1]。

一、什么是数学思维

数学思维从广义上讲内涵十分丰富，我通俗地把数学思维理解为“将具体的数学知识都忘掉以后剩下的东西”。

数学学科能给予我们很多数学知识。知识和技能固然能帮助我们解决一些实际问题，但数学更大的价值在于，它提供了一种不同于日常思维的新思维方式。数学的思维方式为我们正确认识客观世界提供了新的工具和视角，它使我们批判地阅读，识别谬误，探查偏见，估计风险，并提出变通的办法，从而增进我们的认识能力和理性力量。

小学阶段，学习数学的重要目标之一是让学生获得基本的数学思维，从而具备用数学思维方法处理、解决问题的能力，从数学角度看问题的能力。

二、数学思维的分类

数学的基本思维主要指：数学抽象思维，数学推理思维，数学建模思维。

人类通过数学抽象，从客观世界中得到数学概念和法则，建立了数学学科；通过数学推理，进一步得到大量结论，数学科学得以发展；通过数学建模，把数学知识应用到客观世界中，产生巨大的效益，反过来又促进数学科学的发展。

由上述数学思维演变、派生、发展出来的思维还有很多，如分类思维、归纳思维、优化思维、转换思维、有限与无限思维等。

三、数学思维在小学数学实际教学中的应用

《课程标准（2011年版）》指出：数学思维蕴藏在数学知识的形成，发展和应用过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。在义务教育阶段应结合具体的教学内容逐步渗透数学的基本思维[1]。

案例1：数学抽象思维之集合思维。西南师范出版社《数学文化读本》三年级上册P64-68“一共订了几种杂志”[2]。

天天订了《红领巾》《作文大本营》《小哥白尼》《少年先锋报》《漫画世界》5本杂志，波波订了《小哥白尼》《幽默大师》《漫画世界》《数学探秘》4本杂志，他们一共订了几种杂志？

师：我们可以把天天订的5种杂志看作一个集合，每一种杂志都是其中一个元素，这个集合由5个元素组成。波波订的杂志是另一个集合，它由4个元素组成。

师：两个集合里有元素重复，不能用“5+4=9（种）”直接相加求两人所订杂志种类的总和。

生：我明白了，看起来共订了5+4=9（种），但有2种杂志重复计算了，所以只订了9-2=7（种）。

学生通过教师的引导，直观观察思考，感知数学文化中专门研究集合的数学理论——集合论。数学知识中有很多集合思维。比如，正方形是长和宽相等的特殊长方形。我们可以把全体长方形看作一个集合，把全体正方形看作一个集合，它们的关系又是怎样的集合关系？

在这里，教师需要当好引导者，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思维和方法，得到必要的数学思维训练。

简单的集合思维，能感悟到同类物体具有相同的特性。在课堂活动中，体验用集合图表示概念之间的关系，这样的活动能初步培养学生有条理地思考问题，达到逐步渗透集合思维的目的。

案例2：数学推理思维之一逆向思维。西南师范出版社《数学文化读本》三年级上册P69-72“李白买酒与逆向思维”[2]。

李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花饮八口。三遇店和花，喝光壶中酒。请君猜一猜，壶中原有酒。

师：画图表示是一种非常重要的分析方法，特别是只知道结果，不知道起始条件的情况。

酒店×2→花铺－8→酒店×2→花铺－8→酒店×2→花铺－8=0（喝光了）

生1：我们可以从结果开始，一步一步倒推回去。

生2：结果是遇到花铺3喝了8口喝光了，那么在花铺3之前就还有8口酒。

师：孩子们，对于这种知道结果和每一步变化过程的题目，可以从结果开始，逆向推回去。

这种思维方式，叫做逆向思维，也叫求异思维。用逆向思维方式解题在数学中很常见。它是从问题的相反面进行深入探索，对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。教师应引导学生敢于“反其道而思之”，让思维向对立面的方向发展，树立新思维，创立新形象。让学生明白：当大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时，而你却独自朝相反的方向思索，这样的思维方式非常可取。

企业知识型员工无论是成就需要、控制源还是自我效能感的人格预测变量，对人际关系的预测均高于对任务绩效和工作奉献的预测，分析原因可能是由于我国传统文化一贯重视人际关系，与人为善。工作环境要融洽，不要严格；人际关系要简单，不要复杂，这样的企业文化将有利于员工把精力投入到工作中，提高工作绩效，创造更多劳动成果。而知识型员工要求获得尊重的需求非常强烈，建议企业的管理者积极创造“以人为本”的企业文化，尊重员工、平等沟通，注重人情味，做到事业留人、感情留人和文化留人。给予员工家庭归属感，帮助员工职业成长，创造和谐、健康、团结的企业文化环境。

司马光砸缸就是一例逆向思维的实例。有人落水，常规的思维模式是“救人离水”，而司马光面对紧急险情，运用了逆向思维，果断地用石头把缸砸破，“让水离人”，救了小伙伴性命。教学中让学生感悟，对于某些问题，尤其是一些特殊问题，从结论往回推，倒过来思考，从求解回到已知条件，反过去想或许会使问题简单化。

案例3：数学抽象思维之一分类思维。西南师范出版社《数学文化读本》三年级下册P42-45“我是家务小能手”[2]。

妮妮当家，任务：整理好晾晒的衣服，倒垃圾。爸爸妈妈和自己的衣服堆放在一起，不知如何下手？垃圾怎么倒才环保？生1：先把爸爸妈妈和妮妮的衣服分开叠好。师：又该如何放进衣柜？

生2：把各自的上衣和上衣放一起，裤子和裤子放一起，裙子和裙子放一起……

生3：为了减少环境污染，变废为宝，垃圾也要分类处理。

生4：纸类、玻璃、塑料、金属等可以回收，放进回收垃圾箱；剩菜、剩饭等属于厨余丢进厨房垃圾箱……

简单的分类活动，能感悟到同类物体具有相同的特性。在分类活动中，体验分类结果在单一标准下的一致性，这样的活动能初步培养学生有条理地思考问题，养成整理物品的习惯。

四、由数学思维内化出数学思考方法

数学思维比一般的数学概念具有更高的概括抽象水平，后者比前者更具体、更丰富，而前者比后者更本质、更深刻。数学思维是与其相应的数学思考方法的精神实质与理论基础，数学思考方法则是实施有关的数学思维的技术与操作程式。

案例4：我和学生探讨“龙龙和爸爸各买一双皮鞋共用去720元，龙龙的皮鞋价格是爸爸皮鞋价格的80%，龙龙和爸爸的皮鞋各多少元？”经过充分的思考和尝试后，学生给出了丰富的答案。

生1：爸爸的皮鞋价格为单位“1”，720÷(1+80%)=400（元），从而得到龙龙的皮鞋价格，720-400=320（元）；

生2 ： 用方程解答， 设爸爸的皮鞋价格为x 元，80%x+x=720，x=400因此龙龙的皮鞋价格，720-400=320（元）；

生3：龙龙的皮鞋价格是爸爸皮鞋价格的80%，龙龙的皮鞋价格与爸爸皮鞋价格的比为4：5，720÷(4+5)=80，爸爸的皮鞋价格80×5=400元，龙龙的皮鞋价格80×4=320（元）；

师：比较三种方法，你更欣赏哪一种思路？为什么？这一思路给了你哪些有益的启示？

……

三种方法都能顺利解决问题，但细细琢磨，期间的差别值得玩味。方法一是找到与数量相对应的百分率，因为是未知单位“1”，所以用已知数量除以对应百分率，从而求出单位“1”的量，此种解题方法的关键在于确定单位“1”；方法二是建立在等量关系上的方程列式，其间蕴含了数学建模思维派生出来的方程思维，数学建模的初步意识等，都彰显了数学思考的魅力；方法三反映出解题者的综合解题能力，巧妙地抓住了“龙龙的皮鞋价格”与“爸爸的皮鞋价格”之间的内在关联，巧妙地从两个数量比的角度审视问题结构，反映出学生良好的“题感”及善于从数学角度观察、分析、解决问题的意识和能力。教师还及时引导学生进行比较，在比较中分析每一思路背后的数学思考方式，在比较中优化，进而在认同中内化为自己的数学思考。

这样的例子还有很多，又如，在给学生讲解等差数列求和公式时，提到“数学家高斯10岁时算出布特纳给学生们出的将1到100的所有整数加起来的算术题。布特纳刚叙述完题目，高斯就算出了正确答案，而其他孩子都算错了。”一个10岁的孩子，能独立发现等差数列求和的数学方法实属不易，更能反映出高斯从小就注意把握更本质的数学方法，以及其所蕴涵的数学抽象方法、符号化、模型化及化归的数学思维等。学生们惊叹：原来，从数学的角度观察和思考问题，可以获得如此简洁的方法。一种对数学思考方式的认同及数学文化的熏陶深深地润泽着学生的心田。

现代教育观点认为：数学教学是数学思维活动的教学。是师生之间、生生之间数学思维交往与共同发展的过程。数学思维是数学文化及数学教学的核心和精髓，它们是基础知识的灵魂，在小学数学教学中渗透数学思维，并使它们落实到学习和应用数学中能让学生了解和体会数学文化，提高学生的数学素养，如此，我们的学生除了学会课本上的数学知识以外，还将得到很多，很多。