基于矩阵奇异值分解的曲线拟合

毕雄

[摘           要]  有关空间直线如何拟合的问题，目前最广泛流行的拟合方法为数据直线拟合的最小二乘法，采用一种基于最小二乘法对矩阵奇异值进行分解的空间直线拟合方法。首先对一些已知数据进行中心化处理可得到一个矩阵，接着将矩阵进行奇异值分解，那么空间拟合直线方程中的系数可由相应的列向量确定。该拟合过程结合已给的数据进行实验的结果也比最小二乘法更接近真实值。

[关    键   词]  矩阵奇异值分解;曲线拟合;最小二乘法

[中图分类号]  G642                 [文献标志码]  A            [文章编号]  2096-0603（2020）36-0124-02

在日常生活中我们常常需要由点到一维直线再到二维平面来深入研究直线拟合几何空间的各边和各个平面，其中重要的直线拟合方法之一就是最小二乘直线拟合法。对二维平面上的直线已经有很完善的理论且主要方法是依赖于最小二乘直线拟合法。在《计算方法》一书中也详细介绍了最小二乘直线拟合法的基本原理及其计算方法和步骤。但是对复杂的三维空间而言，直线的计算和拟合问题就变得复杂了，通过像二维空间那样用最小二乘直线拟合法进行解决。可是这样的方法得出的理论和结果准确度高吗，能帮助大家更好地计算和拟合出一条跟实际的三位空间直线吻合度高的空间直线吗？由此，本文将给出另外一种方法——矩阵的奇异值分解（singular value decomposition，简称SVD分解），在用这种直线拟合方法的时候不需要考虑矩阵中元素的误差，同时也不需要对矩阵进行最小二乘法中的迭代算法，只需要对一个矩阵进行奇异值分解就可以帮助大家计算出三维空间直线的系数和较高的准确度，并且在本文还给大家计算出这两种直线拟合方法结果准确度的比较。

一、空间曲线拟合理论

因为在二维空间中，常以平面直线的标准方程来研究二维平面上的曲线拟合法，所以同样在三维空间中用空间直线的标准方程来研究空間曲线拟合法：

（4）得到的空间拟合直线的方程：

-0.3162y+0.9478z=0.00017-0.8452x+0.5071y+0.169z=-2.53577

空间拟合直线的方向向量可表示α=（0.5345 0.8018 0.2637）。

四、两种方法的结果对比

矩阵奇异值分解方法的拟合原则就是根据各点到拟合直线距离的平方和最小，在拟合直线上任取一点Q，则已知点εi=（xi yi zi）（i=1，2，...，10）到直线的距离di=εiQ·sin∠（εiQ，α）

五、结论

本文中介绍利用矩阵的奇异值分解的方法求解出拟合直线。不用通过最小二乘法进行计算，也不需要对矩阵进行迭代算法，只需简单地将矩阵奇异值进行分解即可确定拟合直线方程的各项系数。由数值实验结果对比可以看出，如果不充分考虑测量误差，该计算方法对拟合出的直线效果较好，且操作简单易行。

参考文献：

[1]韩乐瑶，肖强，乐英.空间离散点最小二乘算法分段直线拟合的研究[J].工业仪表与自动化装置，2012（4）：107-109.

[2]许海涛，高彩霞.直线拟合算法[J].电脑知识与技术，2009，5（4）：864-867.

[3]姚宜斌，黄书华，孔建，等.空间直线拟合的整体最小二乘算法[J].武汉大学学报（信息科学版），2014，39（5）：571-574.

[4]王在华.线性方程组新解及应用[M].北京：科学出版社，2016.

编辑 王海文