基于连续时间投影梯度算法的分布式电源功率协同控制

2020-03-17章杜锡陈东海陈武军陈明强王冠中

浙江电力 2020年1期

章杜锡，陈东海，周飞，陈武军，陈明强，王冠中

（1.国网浙江省电力有限公司宁波供电公司，浙江宁波 315016；2.宁波天灵信息科技有限公司，浙江宁波 315100；3.浙江大学电气工程学院，杭州 310027）

0 引言

目前，智能电网背景下的电力系统已经成为典型的信息物理系统。大量的分布式元件具备一定的感知、通信和计算功能，如分布式发电单元，馈线自动化终端等设备。随着分布式发电设备的持续增多，未来电网需要实现分布式电源“即插即用”的运行管理模式[1]。然而传统的集中式控制模式无法满足更加灵活的运行需求，同时，在面对网络攻击等问题上也遭遇到巨大的挑战[2]。另一方面，分布式控制模式只需要局部通信，在运行方式上更加灵活，且对网络攻击等问题具备更强的鲁棒性[3]。鉴于分布式控制模式自身所具备的优点，以及智能电网能够为分布式控制的实施提供更多的软硬件支撑，随着对分布式电源“即插即用”需求的不断增加，关于分布式控制的研究也具有越来越重要的理论意义。

近年来，大量国内外学者致力于在电力系统运行与控制领域引入分布式控制方法，成果主要集中于分布式经济调度、频率控制等方面[4-9]，其中，基于一致性算法的分布式运行与控制获得的关注度最高。文献[10]基于一致性理论，提出了成本微增率一致性算法，实现了以主导发电机收集功率偏差信号作反馈的分布式经济调度方法。文献[11]在文献[10]的基础上，将功率偏差也采用分布式估计，改进了需要领导节点已知全局功率偏差的不足（领导节点仍旧存在，但不再已知全局功率偏差），实现了基于一致性算法的分布式微网能量管理。文献[12]考虑了通信噪声和网络延时，提出了使用鲁棒一致性算法的分布式经济调度控制方法，但基本框架还是文献[10]中的经典模式。文献[13]为反馈变量也设计了一致性估计算法，能够在系统动态过程中保持负荷与发电功率之间的平衡，尽管该方法可以避免主导节点的存在，但是需要反馈变量一致性算法的初值满足功率平衡假设，这一点在实际电力系统运行中难以保证。文献[10-13]均是利用了最为常见的一阶一致性算法，所构造出的分布式控制系统阶数较低，在与底层控制的结合上具有简单易行的优势，然而，基于一致性算法的分布式控制依赖实际中难以满足的假设条件，如需要假设某个节点已知系统全局信息，或者假设算法的初值能满足功率平衡约束，这些假设导致基于一致性算法的分布式控制难以满足分布式电源“即插即用”的需求。

连续时间梯度算法[14]与一致性算法在变量阶数上差别不大，由于该算法是利用优化问题中的原对偶变量迭代规则来实现分布式控制结构，因此不依赖主导节点即可满足全局功率平衡约束，而且在迭代过程中能够满足局部的机组出力约束等。文献[14]基于连续时间梯度算法提出了多微电网互联系统的分布式频率最优控制方法，使得可控负荷功率控制暂态过程中调节能力约束始终满足。文献[15]采用频率偏差来反映系统的功率不平衡偏差，间接地解决了微电网中功率平衡约束问题，但尚未考虑目前分布式电源功率协同控制与调频控制在时间尺度上分离的实际情况。

本文研究基于连续时间投影梯度算法的分布式电源功率协同控制，旨在解决大规模分布式电源接入下有功功率最优分配的分布式控制问题。所提方法在连续时间梯度算法的基础上引入投影算子解决分布式电源出力上下限约束，避免了设置领导节点并已知全局负荷需求的不足，此外，算法初值不受任何限制，更适合实际电力系统的功率控制场景。所提方法在功率控制方面促进了大规模分布式电源接入智能电网的可行性。

1 基于一致性算法的功率协同控制

一阶一致性算法是分布式控制领域最常见的方法，其收敛性取决于状态变量之间的连接关系，这便是一致性算法与图论存在相关性的理论基础。因此，本章分别介绍图论基础、分布式电源功率协同控制问题和基于一致性算法的功率协同控制方法。

1.1 图论

一致性算法依托图论。设G 为分布式电源通信网络拓扑图，图G 由顶点集V 和边集E 组成，记作G=（V，E），其中V 是由图G 中的所有顶点组成的有限集，记作V={1，2，…，n}；E 是由V中元素构成的有序二元组，若顶点i 和顶点i 之间存在通信线路，则记作（i，j）∈E。本文中假设图G 都是连通的无向图，即图中任意两个顶点之间存在通路。图G 的邻接矩阵定义为A={aij}，其中，aij＞0，∀i≠j∧（i，j）∈E 和aii=0。

节点i 的邻居节点指的是与节点i 存在连接关系的节点，用集合Ni={j∈V∶（i，j）∈E}来表示。令di=∑j∈Niaij表示节点i 的入（出）度，定义对角矩阵D=diag{di}为图G 的度矩阵。图G 的拉普拉斯矩阵定义为L=D-A，按照本文中的定义方式，拉普拉斯矩阵L 为一半正定矩阵，此外，0 特征根的几何和代数重数都是1，且其对应的右特征值为全部元素都是1 的列向量1T。

1.2 分布式电源功率协同控制问题

假设智能电网的某局部子系统接入了多个分布式电源，不失一般性，独立可控的分布式电源个数记作n。在有功功率三次控制时间尺度上，分布式电源功率协同控制问题本质上是有功功率的经济调度问题，可以表示为如下的优化问题：

满足约束条件：

式中：Pi为分布式电源i 发出的有功功率；Ci（Pi）代表分布式电源发电的费用函数，按照大多数文献的近似方法[10-13]，本文采用二次函数+βiPi+γi来近似费用函数Ci（Pi）；约束式（2）为功率平衡约束，dj为负荷；约束式（3）为分布式电源功率调节上、下限约束。

在约束式（3）没有达到边界值时，优化问题式（1），（2）的最优解满足等微增率准则[10]，即：

上述等微增率准则即各个分布式电源的费用函数在最优解处的导数相等，大多数基于一致性算法的分布式控制便以微增率为一致算法中的状态变量，通过微增率的同步实现功率协同控制。

1.3 基于一致性算法的功率协同控制方法

本文中的分布式电源之间存在1.1 节中所描述的通信网络，其邻接矩阵和拉普拉斯矩阵均为1.1 节中所定义的矩阵形式。

据此，首先介绍文献[10]中采用领导节点的功率协同控制方法。对于非领导节点，分别设置状态变量λi，其动态方程为：

式中：Iij为拉普拉斯矩阵L 的元素，Iij≠0 表示分布式电源i 与j 之间存在相互通信。

对于领导节点，同样设置状态变量λi，其动态方程与非领导节点相比增加了系统全局功率不平衡偏差的反馈信号：

式中：ε 为功率不平衡偏差反馈信号的比例系数，其值越大，算法收敛速度越快，但状态变量的一致性也会受到更大的影响，因此为不影响一致性算法的稳态误差，一般设置在较小的数值上。

文献[13]改进了反馈信号的注入方法，假设每个分布式电源能够感知所在位置附近的负荷，那么利用增加的反馈变量动态系统，可以实现分布式电源分布式地感知系统全局功率偏差，其动态方程简单概括为：

式中：fi是增加的反馈变量，用来分布式感知系统功率偏差。然而，该方法对系统的初值要求苛刻，需要满足分布式电源功率和全部负荷之间的偏差等于反馈变量之和，即初始时刻∑fi+Pi-di=0。

当考虑功率上下限约束式（3）时，上述一致性算法中的状态变量变为虚拟微增率，对于达到出力上下限的分布式电源根据可自身出力约束保持在边界功率处，而系统利用反馈消除功率不平衡偏差，因此虚拟微增率依然能够达到同步（实际微增率不再同步）。分布式电源实际发电功率与虚拟微增率变量的关系如下：

当前的基于一致性算法的功率协同控制方法通过设置领导节点来搜集全局功率偏差的做法显然破坏了分布式控制的基本特征，而利用分布式反馈自行感知功率偏差的做法需要在初值的设置上满足苛刻的约束条件。

2 基于连续时间投影梯度算法的功率协同控制

除一致性算法外，连续时间的梯度算法也是分布式控制领域常见的一种方法。该方法对决策变量采用梯度下降的迭代规则[14]。在本文中，将优化问题式（1）—（3）视为以Pi为决策变量的优化问题，并增加辅助变量λi和zi，在此基础上利用投影算子对Pi的迭代过程增加了上下限约束，以此保证优化结果满足约束式（3）。按照文献[16]中所定义的连续时间投影梯度算法来求解分布式电源功率协同控制问题式（1）—（3），可得动态系统为：

上述投影算子在线性约束式（3）的条件下可以进一步用在阈值处输出为0 的饱和环节来表征，因此式（9）可以进一步表示为：

上述算法可保证在通信拓扑为连通图，目标函数为二次凸函数且初始点在功率正常运行范围内的情况下，动态系统的平衡点收敛于优化问题式（1）—（3）的最优解。具体证明过程详见文献[16]。

与基于一致性算法的分布式控制算法式（7），（8）相比，本文所提的基于连续时间投影梯度算法的功率协同控制式（10）没有增加动态系统的方程个数，只是将式（8）从描述功率与微增率转换关系的代数方程转化为以功率变化速度与微增率偏差量之间关系的微分方程，未明显增加系统的阶数。此外，该算法不需要设置领导节点，在保持分布式控制结构特征方面优于上一章的式（6）；同时，由于分布式电源在正常运行过程中功率始终不会违反上下限约束，因此本文所提算法不需要人为设置初值，只是按照分布式电源的正常运行状态自动运行即可实现有功功率的最优分配。

综上所述，基于连续时间投影梯度算法的分布式电源功率协同控制相比于基于一致性算法的分布式控制策略更适合智能电网的实际应用场景。下文通过算例验证所提控制算法的有效性。

3 仿真分析

仿真分析部分的主要目的是验证基于连续时间投影梯度算法的功率协同控制的有效性。采用修正的IEEE 33 节点系统进行仿真分析，其电力和通信拓扑如图1 所示，其中，分布式电源DG1—DG3 在孤岛运行模式下负责整个系统的功率平衡，并按照图1 中的分区感知所在区域的总负荷di，其中，DG2 和DG3 分别负责虚线框内的总负荷感知，系统其余部分由DG1 负责。

在本文中，通信拓扑的权重为1，即aij=1，∀i≠j∩（i，j）∈E，其余参数见表1。控制算法的实施平台为MATLAB 2017b，通过在Simulink 中构造动态系统验证本文所提方法的有效性。

图1 修正IEEE 33 节点系统

表1 分布式电源参数

图2 中3 条曲线分别代表DG1—DG3 功率变量在连续时间投影梯度算法中的响应轨迹，其中控制参数η 值为50。系统到达稳态时3 个分布式电源的输出功率分别是400 MW，180 MW 和320 MW，满足系统全局负荷总需求，同时，算法初始时刻3 个功率变量的初值分别设置为150 MW，200 MW 和100 MW，通过连续时间算法动态迭代，证明所构造的协同控制算法系统的平衡点能够收敛到经济调度优化问题的最优解，且具有较快的收敛速度。

图2 η 为50 时功率响应曲线

文献[16]研究了连续时间投影梯度算法的收敛性问题，但对于算法收敛速度及算法本身存在的非线性振荡问题未展开讨论，即文献[16]仅研究了当参数η 值为1 时的算法收敛性（等价于系统稳定性）。图3 所示功率响应曲线为文献[16]中所提出的连续时间投影梯度算法的动态，与图2 相比，图3 中的功率曲线振荡的幅值更大，周期更长，系统响应速度更慢。本文所提算法通过增加参数η 来提高系统响应速度，并抑制响应曲线的振荡，改善了文献[16]中所提算法的动态性能。