理工科大学数学课程间的类比与融合问题探讨

曹秀娟 王言英

摘  要：理工科大学数学课程一般包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计和复变函数与积分变换四门课程.本文从课程内容、课程思想和教学方法三个方面，探讨了高等数学和线性代数、高等数学和概率论与数理统计、高等数学和复变函数与积分变换等课程间的类比与融合问题，提出了教与学的建设性建议，对提高大学数学教学质量具有一定的指导意义。

关键词：内容  思想  方法  类比  融合

中图分类号：G642.0                          文献标识码：A                    文章编号：1674-098X（2020）11（c）-0226-04

Discussions on the Analogy and Integration of Mathematics Courses in Universities of Science and Engineering

CAO Xiujuan  WANG Yanying

（Department of Basic Courses， Shandong University of Science and Technology （Jinan）， Jinan， Shandong Province， 250031 China）

Abstract： The course of College Mathematics of science and engineering generally includes advanced mathematics， linear algebra， probability theory and mathematical statistics， and complex variable function and integral transformation. From three aspects of content， thought and method， this paper discussed the analogy and integration between higher mathematics and linear algebra， higher mathematics and probability theory and mathematical statistics， higher mathematics and complex variable function and integral transformation. This paper puts forward some constructive suggestions on teaching and learning， which has a certain guiding significance to improve the quality of college mathematics teaching.

Key Words： Content; Thought; Method; Analogy; Integration

目前，大多數理工科大学数学课程包括《高等数学》《线性代数》《概率论与数理统计》以及《复变函数与积分变换》，授课顺序绝大多数是先讲《高等数学》，再讲《线性代数》和《概率论与数理统计》，最后讲授《复变函数与积分变换》。这些数学课程是理工科大学的基础理论课程，也叫通识教育必修课，为后继专业课程的学习提供必要的数学基础和数学思想、数学方法，在大学学习过程中起着非常重要的作用。但在教学过程中，经常听到大学生反映数学课程多而且难学，尤其是学校论坛里，对数学课的抱怨最多，关于数学的段子最多，不少同学数学课挂科，甚至毕业前才补考通过。数学课真的那么难通过吗？其实，这些课程没有传说中那么难学，它们既是相互独立的课程，相互间又有密切联系，在课程内容、数学思想和学习方法等方面具有共性，教师在授课过程中注意类比、联系、总结，学生掌握了这些特点，学习起来就能融会贯通，得心应手，达到事半功倍的效果。尤其是《高等数学》，作为基础中的基础，作为大学生接触的第一门大学数学课程，其内容、思想和方法都对其他几门数学课程起到铺垫作用。因此，研究课程间的联系、类比和融合问题，对于提高大学数学教学质量和教学效果具有重要的意义。

1  内容的类比与融合

1.1 《高等数学》和《线性代数》有关内容的类比与融合

《高等数学》中多元函数求条件极值理论中，求函数在条件和下的极值问题，按照拉格朗日系数法，构造拉格朗日函数，求偏导，得到方程组

（1）

解方程组，求得极值 （极大值或者极小值）。若记，，，则分别是曲面，和的法向量。方程组（1）的前3个式子可以写成的形式，说明向量线性相关，这便是《线性代数》中向量线性相关的概念，若向量线性相关，说明共面，则可写成行列式的形式，又与《高等数学》中向量混合积的计算联系了起来。

《线性代数》中向量内积的概念就是《高等数学》中向量数量积概念的一种推广，n维向量没有了3维向量那样直观的长度和夹角的概念，但是依然可以根据向量的坐标来定义n维向量的长度和夹角。若在《高等数学》中向量代数的教学中，启发式教学，引导学生将3维向量推广到n维向量，向量内积的概念自然就有了。在《线性代数》的向量内积教学中，再回忆3维向量的有关概念，同学们比较好接受新的知识点。

1.2 《高等数学》和《概率论与数理统计》有关内容的类比与融合

《高等数学》中微积分学的内容是《概率论与数理统计》中连续型随机变量有关概念和概率计算的基础。比如，一维连续型随机变量的定义是由广义积分上限的函数界定的，即若对于随机变量的分布函数，存在非负的可积函数，使，则称随机变量X是连续型随机变量，称是随机变量X的概率密度函数，且有，该归一性实质是《高等数学》中广义积分的收敛性问题;对于和，有关系，这是《高等数学》中积分上限函数的求导问题，而积分上限函数定义中只讲了下限是有限常数的情况，为了后续《概率论与数理统计》课程的需要，应在《高等数学》学习中加以说明无限常数的情况。事件的概率也转化为积分计算问题，即。连续型随机变量X的数学期望E（X）也是积分问题，即广义积分的绝对收敛问题。类似地，二维连续型随机变量的概念，事件的概率计算，数学期望等又与二重积分有关，特别是广义二重积分有关。而《高等数学》中只是讲解了一维广义积分和二重积分化为二次积分的计算方法以及应用，广义二重积分几乎没有提及过，属于延伸部分的内容。为了后续《概率论与数理统计》的顺利学习，应在《高等数学》学习中拓展广义二重积分的概念和有关计算，为课程间的衔接做好准备。

《概率论与数理统计》中离散型随机变量的有关概念是以《高等数学》中无穷级数的有关内容为基础的。比如，离散型随机变量 分布律的归一性，实质是无穷级数的收敛性问题;离散型随机变量 的数学期望又是无穷级数绝对收敛的问题，相关的计算转化为《高等数学》中无穷级数求和函数的问题。例如：随机变量X服从参数为P的几何分布，即，，其中，，，则随机变量X的数学期望为

1.3 《高等数学》和《复变函数与积分变换》有关内容的类比与融合

在函数部分，《高等数学》讲，《复变函数与积分变换》里也讲，只是对于函数来说，Z的取值范围不同，一个是实数范围，一个是复数范围。对于函数的一些性质，比如周期性、有界性，对于一些特殊函数，自变量取值范围不同，性质不同。例如：指数函数满足，说明指数函数在复数范围内是以为周期的，在实数范围内则是没有周期性的;正余弦函数在实数范围内是有界的，满足，，但在复数范围内，都是无界的。在教学过程中，注意采取类比、对比的方法讲解，有助于学生对所学知识点的理解和区分。

在导数概念中，《复变函数与积分变换》中导数的概念为，形式上与《高等数学》中一元函数导数的概念相同，但由于复数范围内是在复平面内沿任何方向或任何曲线的，所以比实数范围内只是沿实数轴复杂的多，可以理解为《高等数学》中二元函数求极限时，方式的任意性。

在级数部分，复数项级数（，）的收敛问题可以转化实部级数和虚部级数的收敛问题，即实数项级数的收敛问题。《复变函数与积分变换》中泰勒级数是《高等数学》中实数范围内泰勒级数的延伸，求收敛半径的方法和求泰勒级数展开式的方法均与《高等数学》中实数范围内泰勒级数相同;《复变函数与积分变换》中洛朗级数是《高等数学》中实数范围内泰勒级数的推广，而对洛朗级数的学习又反过来使学生更好的理解实数范围内泰勒级数的收敛区间。

2  思想的类比与融合

2.1 《高等数学》和《线性代数》有关思想的类比与融合

《高等数学》中线性微分方程解的结构与《线性代数》中线性方程组的有关的解的理論是平行的，相似的。

线性微分方程解的结构，以二阶线性微分方程为例，

（2）

（3）

非齐次线性微分方程（3）的通解可以表示成对应的齐次线性微分方程（2）的通解与非齐次线性微分方程（3）的特解的和的形式。

而在《线性代数》中线性方程组解的理论有，非齐次线性微分方程组AX=b的通解可以写成对应的齐次线性微分方程组AX=0的通解与非齐次线性微分方程组AX=b的一个特解的和的形式。

2.2 《高等数学》和《概率论与数理统计》有关思想的类比与融合

《高等数学》中微分（或求导）和积分是互逆的两种运算，这种思想方法在《概率论与数理统计》中有所体现。对于随机变量X的分布函数，若存在非负的可积函数，使成立，则称随机变量X是连续型随机变量，称是X的概率密度函数，且有，之所以称是X的概率密度函数是因为是的导数即变化率的问题。

2.3 《高等数学》和《复变函数与积分变换》有关思想的类比与融合

《高等数学》中讲函数的性质，对于一元函数来说，函数可导则连续;对于二元函数来说，函数在某点具有偏导数和函数的连续性之间没有关系，但若是函数可微，则不管是一元函数还是二元函数，函数都会连续。《复变函数与积分变换》中讲复变函数的性质，也讲连续性和可导性，还延伸到解析性。复变函数对应两个二元实变函数和，二元实变函数可微，且满足C-R 方程等价于复变函数可导，因此，若复变函数可导则二元实变函数可微，进而，二元实变函数连续，则对应的复变函数连续，故可得结论：复变函数可导则连续。

3  方法的类比与融合

3.1 《高等数学》和《线性代数》有关方法的类比与融合

例3-1 任何一个定义在关于原点对称的区间上的函数，总可以表示成一个奇函数与偶函数的和的形式。

证明：设在关于原点对称的区间D上有定义，

令，，则易证是D上的偶函数，是D上的奇函数，且。

例3-2任何一个n阶实矩阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和的形式。

证明：设A为一个n阶实矩阵，令，，则易证，B是一个对称矩阵，C是一个反对称矩阵，且。

以上这两道题目，例3-1来自《高等数学》，例3-2来自《线性代数》，问题不同，思想相同，均用构造函数或矩阵的方法使问题得到解决，具有异曲同工之妙。

3.2 《高等数学》和《概率论与数理统计》有关方法的类比与融合

在《高等数学》的学习中，从一元函数微分学到多元函数微分学，从定积分到二重积分、三重积分再到曲线积分、曲面积分，运用类比、对比的学习方法特别有效，可以将新知识转化为已经学过的旧知识，降低学习的难度，加强所学内容的区分与联系，从而达到融会贯通、举一反三的熟练程度。《概率论与数理统计》中，从一维随机变量到二维、多维随机变量的有关概念、性质及相关计算的学习，也可以运用类比、对比的学习方法，引导学生类比思维，自觉对所学内容进行研究分析，重点把握其区别与联系，培养学生的创新意识，提高学生自主学习的能力。

3.3 《高等数学》和《复变函数与积分变换》有关方法的类比和融合

《高等数学》中，可以利用曲线积分与路径无关的条件，用偏积分的方法求二元函数。例如：在整个面内，是某个二元函数的全微分，求出一个这样的二元函数。解答如下：，由和 得，，取，得一满足条件的二元函数。

《复变函数与积分变换》中，可以利用曲线积分与路径无关的条件，用偏积分的方法求共轭调和函数。设为单连通区域D内的一个调和函数，记是的共轭调和函数，则由条件得，，由的调和性，即，可知，曲线积分与路径无关，可用偏积分法求出：

，

其中，是区域D内一定点。

4  结语

《高等数学》《线性代数》《概率论与数理统计》和《的复变函数与积分变换四门大学数学课程，在内容、思想和方法等方面具有相通之处，在《高等数学》教学中，强调这些重点内容，学生在后继课程学习中就能顺利衔接，降低学习难度，同时，在后继课程教学中不断复习、回顾《高等数学》中的相关内容，学生又可以再次温习《高等数学》的相关内容，如此反复，学生可以逐渐对大学数学课程融会贯通。这些研究探讨，对于提高大学数学教学质量和教学效果具有一定的现实指导意义。

参考文献

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