谈初、高中数学过渡中要做到的几个转变

◇ 山东 王 迪

(作者单位:山东省淄博市周村区第三中学)

高中数学相较于初中数学来说难度有所增大,不同类型的知识分类更具体、形式更抽象.因此教学中教师要引导学生做好如下的转变.

1 由定量到变量的转变

高中数学所涉及的问题大多含有参数,以函数为例,相关问题的求解中需对参数的可能取值进行讨论,而初中的问题一般是不含参数的.因此学生在处理含参问题时,常常忽视对参数的讨论.

例1若函数y＝ax2－x－1的图象与x 轴有且仅有一个交点,则实数a 的值是________.

在含参问题的处理中,要明确分类讨论的标准,确定分类的层次,做到不重不漏.

2 由感性到理性的转变

初中学生在解答某类问题时,一般都是按教师提供的“程序”进行求解,将解题的思维方式停留在对问题的感性认知上.以一元二次不等式的恒成立问题为例,学生常结合开口方向以及判别式进行求解.

例2已知函数x2－(a＋3)x＋1＞0在(－∞,＋∞)恒成立,则实数a 的取值范围为________.

因为不等式左边为二次函数,其开口方向确定,故只需判别式小于或等零,即可得出正确结论.但是如果将x 的范围改为R的某个子集,部分学生就不知如何下手了.

变式不等式x2－(a＋3)x＋1＞0 对于一切x∈(0,＋∞)恒成立,则a 的取值范围是________.

其实从不等式恒成立问题的本质来分析,f(x)≥0在(0,＋∞)恒成立,即函数fmin(x)≥0,因此只需求函数的最小值即可.而函数的对称轴不确定,故可按对称轴与[1,2]的关系进行讨论.另外也可以创新思维,将参数分离出来,即x2－3x＋1＞ax,故只需要求的最小值即可.

明确了某类问题的本质,也就清楚了该类问题的处理方法,还可以用类似的思维方法处理不等式能成立、不等式恰成立问题.

3 由被动到主动的转变

初中生数学学习的过程通常是在老师的引导下,按部就班地进行,缺少主动思考、独立探究的训练过程.例如在解答完一道题目后,可引导学生尝试从题目条件、所求结论、问题背景等方面,将问题进行变化求解,以锻炼其分析问题与解决问题的能力.

例3求y＝x2－2ax＋1(－5≤x≤5)的最值.

本题为闭区间上二次函数的最值问题,对称轴x＝a 为参数形式,故最值的求解中需要按对称轴与所给区间的关系进行讨论.解答完此题后,可将问题进行变式.

变式求y＝x2－2x＋1(t≤x≤t＋1)的最值.

将问题变式后,使得对称轴确定,所给的区间不确定,但求解方法与例3类似.通过问题的变式有效提升了学生灵活应用所学方法解决问题的能力.

4 由形象到抽象的转变

以函数问题为例,初中数学中所涉及的都是具体的函数,如一次函数、二次函数、反比例函数等,学生在明确了函数类型的情况下研究函数的性质,较直观形象.但高中数学中的函数往往不明确函数的类型,让学生研究函数的性质,学生往往无从下手.

例4y＝f(x)(x∈R),f(0)≠0,当x＞0时,f(x)＞1,且对∀a,b∈R,有f(a＋b)＝f(a)f(b).

(1)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)＞0;

(2)判断函数y＝f(x)的增减性.

(1)令a＝b＝0,可得f(0)＝0,若x＜0,则－x＞0,故f(0)＝f(x)f(－x)＝1,即当x＞0,f(x)＞1＞0,故x∈R,恒有f(x)＞0.

(2)设x1＜x2,则x2－x1＞0,所以

f(x2)＝f(x2－x1＋x1)＝f(x2－x1)f(x1).

因为x2－x1＞0,所以f(x2－x1)＞1.由(1)可知f(x1)＞0,所以f(x2－x1)f(x1)＞f(x1),即f(x2)＞f(x1),故f(x)为R上的增函数.

总之,针对刚刚升入高中的学生,教师要引导学生全身心地投入到学习中,注意对数学思想方法的归纳总结,积累解题经验,养成善于思考的习惯,为学好数学打下扎实的基础.