求直线与圆问题中的最值

◇ 张风娇

直线与圆的位置关系有相离、相切和相交三种情况．而直线与圆问题中的最值，往往就是通过判断直线与圆的位置关系，结合相关的信息加以分析与解决．下面就结合直线与圆问题中比较常见的弦长、代数式、面积等最值问题进行实例剖析．

1 弦长最值问题

例1已知圆C:(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l:(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)，求直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程及最短弦的长度．

直线l的方程可化为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0，由于m∈R，所以直线l恒过x＋y－4＝0与2x＋y－7＝0的交点，联立直线方程得直线l恒过定点A(3，1)，圆心C(1，2)，d＝|AC|＝(半径)，则点A在圆C内，那么当弦长最短时有l⊥AC，由，知直线l的斜率为k＝2，所以直线l的方程为y－1＝2(x－3)，整理得2xy－5＝0，则最短弦的长度为

利用圆的性质，结合直线与圆的位置关系，通过数形结合来处理相应的弦长最值问题较为简捷．

2 代数式最值问题

例2已知实数x，y满足x2＋y2－4x＋1＝0．

(2)求y－x的最小值．

(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，b为直线在y轴上的截距，当直线与圆有公共点时，当且仅当直线与圆相切且切点在第四象限时b最小，此时圆心C到直线的距离为，解得，所以y－x的最小值为

求解代数式的最值问题，往往通过代数式所表示的几何意义以及数形结合来判断直线与圆的位置关系，从而使最值问题得以解决．数形结合是处理此类问题的常用方法与关键所在．

3 距离最值问题

例3已知圆C:x2＋y2＋2x－4y＋3＝0．

(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；

(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．

(1)由于切线在两坐标轴上的截距相等，当截距不为零时，设切线方程为x＋y＝a，由题知圆心C(－1，2)到切线的距离等于圆的半径2，即解得a＝－1或a＝3；当截距为零时，设y＝kx，同理可得或则所求切线的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0或或

(2)由于切线PM与半径CM垂直，则|PM|2＝即则2x1－4y1＋3＝0，那么动点P的轨迹是直线2x－4y＋3＝0，则知|PM|的最小值就是|PO|的最小值，而|PO|的最小值为O到直线2x－4y＋3＝0的 距 离可得故所求点P的坐标为

求解直线与圆的距离问题，关键是正确切入(即|PM|的最小值就是|PO|的最小值)，把有关的距离问题转化为直线与圆的位置关系问题、方程问题、参数问题等，利用方程的求解等方式确定有关的距离最值问题．