对于学生接受定义的几点思考

丘烨 张亮

【摘要】学生接受数学定义中的前提假设的困难，是教师在数学教学中遇到的问题，帮助学生解决接受假设上的认知困难也是教学的一个难点.本文就高中部分数学定义，利用数学史和问题驱动设计课堂引入部分.

【关键词】接受假设;数学史;问题驱动

一、绪 论

2015年何小亚和张敏在贝特朗悖论之争的终结上提出：学生在学习几何概率时肯定了假设前提的重要性，如果学生在学习几何概型忽略了假设前提，会给后面的解题带来困惑.高中的知识内容不仅仅体现在概率统计方面，还会在函数、代数等问题上有所体现.在数学归纳法问题上的假设条件如何用才能使得学生更容易接受，在数学建模过程中如何合理简化模型假设，以此培养学生的创新思维能力.孙朝霞在函数问题上，从三角函数的两个“假设”的角度谈数学思维能力的培养，这是基于学生的经验解决学生对这种前提假设的理解困难问题.类似这样的基于解决学生在课堂上的困惑而进行的教学方法的探讨有很多，这些论文都有一个共同的特点，就是提到的数学概念或原理中涉及了假设，而这些假设会引起学生的困惑.本文以此展开对这些问题的探讨并给出自己觉得可行的策略.

二、借助数学历史和文化渗透数学定义

数学的很多定义不是突然凌空出现的，而是通过数学的本质，或者是数学的应用背景，或是在数学文化传播的过程中翻译形成的.可以通过数学定义发展的历史的视角，简化该历史的坎坷进程，去粗取精，去伪存真，由此及彼，由表及里，抓住数学定义的重要元素并向学生呈现.

（一）高中函数的定义

高中函数的定义是高度抽象概括的，这是学生接受假设的认知困难表现出来的其中一方面.函数定义的发展是曲折的，不断完善的.对于英文的fuction和中文的函数，在翻译的过程中，一个凸显函数功能，一个凸显函数本质.在我国，函数的概念是由清朝的数学家李善兰翻译并传播的.在古文中“函”是信件的意思，函数就是A，B两个地域的“数”在相互通信的过程，两个地域的人构成的集合分别称为定义域和值域.那么这个寄信的过程，必须有寄信人（定义域的值）和寄信的方式（对应法则），才能成功地寄信，并且这个收信人是唯一的（值域中有唯一的值与其对应）.这样，就可以把函数的三要素和一对一，多对一的原则讲得比较风趣，也赞扬了我国数学家的翻译功底，减少学生的抵触心理.

（二）任意角的定义

在高中人教版教材中，用拧螺丝的情境引入任意角的定义，这种引入的有效性是有待商榷的.在三角函数应用的历史中，一开始是用于航海学和天文学的，方便观察日月的变化与季节的关系、与方位的关系，方便航海时定位及时间的记录.但是这些相关知识，如果较真地深入研究，又是烦琐和复杂的，这就需要简化为比较原始的知识.那么地球绕太阳运动可以近视看成圆周运动，360天对应360°，逆时针旋转30°是30天后，那么顺时针旋转30°就是30天前，记作-30°也很自然.那390°如何解释？学生可以进行探究.

这些场景不仅可以解决任意角的问题，也给随后的象限角和终边相同的角赋予了具体背景.这让学生不会有太大的抵触心理，方便学生接受任意角这一定义的假设.

（三）虚数单位i的几何意义

在学生接受“i2=1”之后，i的几何意义又是什么？数与坐标轴是如何一一对应的？数的运算在几何中又是如何表示的？在高中教学应该给出一个总结了.

虚数和复数的发展是从数学解方程的内部矛盾开始的，物理上的应用促进其发展.复数的形式与向量一样，具有方向性及几何意义，但一下子涉及了物理的知识，会将数学问题复杂地融入物理问题中，所以还是需要将物理情境简单化，最好联系学生已有的学习经验.结合学生已有的经验，设置以下问题进行驱动教学.

問题1：数在初中可以表示为数轴上的点，数的大小对应线段的长度.对应数的加法是线段的叠加，数的乘法是线段的伸缩.但是由于负数的出现，让数有了正负号，对应线段也有了正反方向，这种正反方向表现为线段绕原点旋转180°，例如，2×（-1）=-2.那么如何理解1×（-1）×（-1）=1？表示1旋转了两次180°，回到了1的位置.

问题2：那么“i×i=-1”应该如何找到i的位置？经过前面的铺垫，学生很自然地想到1的位置旋转90°成为i.

问题3：那如何表示-i？由此建立直角坐标系就可以表示有关i及i的倍数的数.利用平移还可以进一步解决复数的表示形式问题.

（四）单调性的定义

单调性中的“令x1x2，还有为什么要这样“令”等问题，这让学生不解.对于这个问题我们可以借助情境分类讨论，得出同增异减的结论.

横看成岭侧成峰，远近高低各不同.我们在用一次函数图像引入上升和下降趋势中，按照从左往右的方向看和从右往左的方向看的趋势是不一样的，但是本质是一样的.例如，y=x的图像，从左往右的方向看是上升的趋势（类似上山），从右往左的方向看是下降的趋势（类似下山），由此设置以下问题驱动.

问题1：如何来刻画这样的一种图像所反映出来的特征呢？以此引出水平方向的变化量和竖直方向的变化量.

问题2：从左往右的方向看，x和y分别如何变化？

问题3：从右往左的方向看，x和y又分别如何变化呢，本质上是一样的吗？这个问题的设置凸显了单调性定义的方向性.

问题4：单调递减区间该如何定义？

数学的定义有一个漫长的演变过程，并非所有的概念都可以还原真实的历史，需要教师通过合情的推理，模拟其产生和发展的过程.