用函数与方程思想解题

孙宽程

【摘要】函数与方程的思想是中学数学中最常见的一种思想，它能够使我们在解题中保持最正确的分析方向，在思考的过程中掌握此类问题的推理技巧，因此，我们必须在相同的类型题中找到规律，举一反三，做到遇到这种题目就能够得心应手地解决.

【关键词】函数;方程;思想;转化

一、方 程

（一）方程的概念

含有未知数的等式叫作方程.

（二）方程的思想

通俗地说，方程的出现就是把一个问题运用逆向思维去解决，我们在解方程的时候不难发现，每次都是先设要求的答案为未知数，从后往前推进，在这个过程中我们会得到一个含有未知数的等式，这个等式就是我们说的方程，而这个过程就叫作构造方程，由此及彼，方程的思想就是运用逆向思维去寻找一个等量关系.

二、函 数

（一）函数的概念

一般地，在一个变化过程中，假设有两个变量x，y，如果对任意一个x都有唯一确定的一个y和它对应，那么就称x是自变量，y是x的函数.x的取值范围叫作这个函数的定义域，相应y的取值范围叫作函数的值域.

（二）函数的思想

函数与方程最大的不同就是函数可以运用图像来解决一些棘手的问题，因此，我们在分析函数问题时，总是会选择运用函数的图像或者它本身的性质来处理，其他的过程与方程思想无异，建立新的函数，将所要求的问题转变为函数问题，以此来解决原有问题.

三、函数与方程的思想在实例中的应用

（一）用函数与方程的思想解决关于不等式类型的问题

在我们所学过的知识中，与函数和方程联系最紧密的应该就是不等式，以前学过的一元一次方程，一元一次不等式和一次函数之间的关联，还有一元二次方程，一元二次不等式和二次函数之间的关联.所以我们以后再学习这种题型的时候，可以适当地联系函数思想或者方程思想，这样可以非常方便地解决此类问题.

例1 求证不等式：y1-2y

证明 令f（y）=y1-2y-y2（y≠0），

由f（-y）=-y1-2-y+y2=-y（2y-1）2y-1+-y2y-1+y2=y1-2y-y2=f（y），

所以f（y）=y1-2y-y2是偶函数.

当y>0时，2y>20，即1-2y<0，可知f（y）<0.

当y<0时，-y>0，f（y）=f（-y）<0，

故当y≠0时，f（y）=y1-2y-y2<0，

即y1-2y

注意：这道题运用函数的奇偶性来证明不等式，这需要对函数的性质有深刻的理解和掌握，并能应用在实际问题中.

（二）用函数与方程的思想解决关于三角函数类型的问题

三角函数一般都是与方程的思想相结合，在解决此类问题时，应注意把方程中的隐含条件与三角函数值相对应，从而得到结论.

例2 有一个△ABC的三个内角∠1，∠2，∠3的大小正好构成了等差数列，∠1<∠3，又已知tan∠1·tan∠3=2+3，∠3对应的边z上的高等于43，求△ABC的三边长x，y，z的大小以及三个内角∠1，∠2，∠3的大小.

解 由题可知，

tan∠1·tan∠3=2+3能够让人联想到△ABC中的恒等式tan∠1+tan∠2+tan∠3=tan∠1·tan∠2·tan∠3，

因此，tan∠1+tan∠3=tan∠2·（tan∠1·tan∠3-1）.

又因为∠1，∠2，∠3成等差数列，则∠2=π3，

所以tan∠1+tan∠3=3（1+3），

即tan∠1，tan∠3是方程x2-（3+3）x+2+3=0的两个根，

由∠1<∠3，

可以解得tan∠1=1，tan∠3=2+3，

则∠1=π4，∠3=5π12.

由此可以得出x=8，y=46，z=43+4.

注意：我们在中学阶段就学过韦达定理，这道题正好是逆向使用了这个定理，再结合三角函数值从而求得出结果.

（三）用函数与方程的思想解决关于数列类型的问题

我们在高中时期学过数列的通项公式，这是数列中最基础也是最重要的部分.那我们来看一下，数列的通项公式是一个永久不变的等式，我们可以很容易地發现，这种方法能够很好解决此类问题.那么我们如何用方程的思想解决数列问题呢？

例3 若在数列{an}中，a1=3，以后各项满足an+1=an-23，则{an}的前（  ）项和最大.

解 由题可知，

{an}是以3为首项，-23为公差的等差数列，

故Sn=3n+n（n+1）2·-23=-13（n-4）2+163，

当n=4时，Sn取到最大值，故答案填4.

也可以由an=-23n+113得知an是关于n的单调递减函数，

因此，仅仅有前若干连续项为整数，它们的和为Sn的最大值，

由an≥0，an+1<0得n=4.

注意：数列问题是一个比较灵活的知识，具有函数与方程的两种特点，因此，我们可以就题而论.

【参考文献】

[1]罗建宇.函数与方程的思想在解题中的应用[J].中学数学研究，2008（2）：19-22.

[2]聂毅.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J].课堂内外·教研论坛，2013（1）：50-51.

[3]何晓勤.函数与方程思想在解题中的应用[J].高中数学教与学，2014（5）：5-8.