将数学史与数学本体知识巧妙融合

刘灿文 杨懿荔

【摘要】现行教材对“对数的概念”的引入过于直接，一般教学方式对“对数的运算”的处理也接近于强加式，它们均不利于培养学生的数学素养及学习兴趣.为此，笔者将对数的概念与对数的运算整合在一节40分钟的教学课中，在“数学史与数学本体知识巧妙融合”的理念指导下生成教案，努力让学生了解对数概念的起源与发展，并给予学生探索对数运算性质的机会.

【关键词】数学史;数学本体知识;对数的概念;对数的运算

一、教学背景

对数思想的产生大大简化了烦琐的大数运算，对天文学的发展提供了极大的帮助.而在现行的上教版高中数学教材[1]中，对数概念的引入是从一个指数方程入手，并没有阐述其背后的人文因素与实际的迫切需求.这必然导致学生在学习过程中产生困惑：为何要学习对数？发明对数的意义何在？在数学史融入数学教育的启发下，越来越多的数学教师意识到上述问题，笔者也不例外.

为帮助学生解决上述困惑，笔者对“对数概念的引入”进行教学重构，将数学史融入教学，努力让学生走进历史，身临其境，体会发明对数的必要性.只有学生切实体会到对数为简化计算带来的极大便利，学生才不会觉得对数只是为了和指数式进行互化、只是一个枯燥无聊的计算工具，从而使学生感悟数学之美.

任何概念的完善都要经历产生与发展这样两个阶段，对数亦是如此.因此，本节课的教学目标除了学习对数概念以外，学习对数的运算也是一个重头戏，两者不可分割.在现行教材中，对数的概念、对数的运算这两部分内容的教学各需要一节40分钟的课，现在，为了更好地向学生呈现对数的产生与发展过程，笔者需要将对数的概念与对数的运算整合在一节40分钟的教学课中.在着手整合之前，笔者考虑到：首先，如果花费太多时间在对数概念的引入上，虽然可以将对数的产生过程复原，学生也能很好地理解对数发明的必要性，但是对数的运算部分的教学就会变得非常仓促，也许只能引出对数的加法性质（性质1），而减法性质（性质2）与乘法性质（性质3）只能作为思考题让学生课后完成，这样一节课就不再完整了.其次，对数的三大运算性质在教材中凭空出现，缺少来龙去脉，这显然不符合学生的逻辑认知规律，这样的教学过程是不自然的，教师应当对此加以适当的铺垫.基于上述考虑，在“对数概念及其运算”（1课时）教案的生成过程中，应当努力达成以下三个目标：

目标1 借助数学史与数学教育（HPM），引入对数的发展过程，让学生了解对数概念的诞生与起源;

目标2 利用实例，让学生自发地探索对数的运算性质，使教学过程自然且有逻辑，避免苍白的强加式教学;

目标3 合理分配时间，对于目标1、目标2做到细致且不拖沓，精确且高效.

二、教学过程与教案生成

（一）课前引入

在课前，要求学生在不借助计算器的前提下进行一些大数的乘法、除法、乘方、开方运算，让学生体验到大数运算的不易.

引例 在没有计算器的帮助下，求下列各式的值：

（二）双数列表的引入[2]

（三）实例引入

教师：上述双数列表中的特例都是设计好的，这些大数均为2的整数次幂.而在天文学家的實际计算过程中，遇到的数字都是有实际意义的天文数字，不可能刚巧都是2的整数次幂.华东师范大学的汪晓勤教授在《数学史与数学教育》中举了一个实例——天文学家必会面临计算299 792.458×31 536 000这一问题，因为它是光速与一年的秒数的乘积，也就是一个光年的大小[3].这样的大数乘法运算如何巧妙地转化为小数的加法运算呢？只要我们能够找到a，b，使得2a=299 792.458，2b=31 536 000，就可以通过查找双数列表的方法，简便地进行计算.

（四）对数符号的诞生

面对上述光年计算的问题，教师提出疑问：若已知实数a>0，a≠1，且实数N>0，问使得ab=N成立的实数b是否存在？如果存在，是否唯一？

此处是本节课的重点之一.首先，面对计算光年这一实际问题，学生已经认识到寻找b值的必要性.其次，就是如何寻找b值，b值是否存在且唯一.对于指数函数f（x）=ax，其值域为一切正实数，因此，对任意的N>0，必定存在x0∈R，使得ax0=N，这便验证了方程ax=N至少有一个解，而后利用指数函数f（x）=ax的单调性可知方程ax=N至多一个解.综上可得ax=N恰有一个解，这个解便是b，即证明了使得ab=N成立的b值存在且唯一.

然后，教师便由拉丁文logarithm引入对数符号.

（五）对数的命名

教师向学生提出思考题：为何要将这样的b称为对数呢？对数难道表示“对的数”吗？

没有经历上述对数概念引入过程的学生估计很难回答这个问题.而通过上半节课的引入，经历过对数概念引入过程的学生能非常自然地回答出：对数即对应的数，通过双数列表，我们可以将大数转化为与其对应的小数.

（六）对数式与指数式的互化练习

（七）对数运算的引入及性质1的推导

教师帮助学生回顾前半节课的内容：在引例中我们能够通过指数（小数）找到对应的幂（大数），现根据对数概念，我们也可以从真数（大数）出发，找到其对应的对数（小数）.

教师顺势改编双数列表（表1），得到表2：

教师以指数的运算性质作为切入点，自然地引导学生过渡到对数的运算性质.对数有三大运算性质：如果a>0，a≠1，M>0，N>0，n∈R，那么有

（八）对数运算性质2、性质3的引入

对于对数的运算性质2、性质3的引入，笔者想出了两种不同的设计方案，具体如下：

最终，笔者决定采用方案2.理由如下：

其一，方案1虽然很严谨，能够培养学生由特殊到一般的思想方法，但是较为枯燥，对三大性质的生成与证明是一种机械重复的过程，而且十分耽误时间，会导致后面教学时间不足.方案1看似是根据实例，由特殊到一般去找寻对数的运算性质，但实际上仍是教师强加思路给学生，学生完全是跟着教师在走，没有发挥主观能动性，并不符合本节课的教学理念——自然发生法.

其二，方案2逻辑线清晰有条理，教学的发生十分自然.教师负责搭建框架，其余完全由学生主导.方案2由例题引出对数运算性质3，既弥补了因时间不够而导致的例题缺失、无暇训练的不足，又在课堂中完美地展现了三大运算性质，实现了教学的完整性.

因此，无论是教学的自然发生，还是时间的把控，方案2都更胜一筹.

三、反思与总结

为达成本文第一部分所提出的三个目标，本节课的时间分配如下：

0～8分钟：“课前引入”“双数列表引入”“实例引入”.以HPM为主视角，采取数学史融入数学课堂的重构式设计，让学生经历烦琐的大数运算，认识寻找对数的必要性.

8～15分钟：“对数符号的诞生”“对数的命名”.回顾引例中大数与小数之间的关联，根据已习得的指数函数值域与单调性的知识，引入对数概念，并简要介绍对数的命名.

15～20分钟：“对数式与指数式的互化练习”.通过简单的指对数互化练习，引导学生主动发现：① 真数必须大于0;② loga1=0;③ logaa=1.

20～28分钟：“对数运算的引入及性質1的推导”.通过引例，改编双数列表，再通过特殊到一般的思想方法由结论发现对数的加法运算性质（性质1），前后呼应.

28～32分钟：“对数运算性质2的引入”.根据加减法互为逆运算，由学生自主探究对数减法运算性质（性质2）并证明.

32～40分钟：“对数运算性质3的引入”.给出例题，一来给学生时间巩固知识，二来可以自然地引出运算性质3，一举两得.

将数学史融入数学教学能让课堂变得生动有趣、激情澎湃，数学本体知识的教学则让课堂变得严谨缜密、厚重如山.本节课在给出对数的定义之前，先提了一个问题：“若已知实数a>0，a≠1，且实数N>0，问使得ab=N成立的实数b是否存在？如果存在，是否唯一？”这是一个非问不可的问题，也是一个必须解决的问题.如果教师无视这个问题就直接给出对数的定义，那么对学生而言，对数的定义就是教师强加的，就算记住了这个定义，那也不过是无根浮萍而已.如果在圆满地解决这个问题之后，教师再给出对数的定义，那么课堂将充满思辨的火花，自然而然，行云流水，这个定义将在学生心中生根发芽，稳如磐石.

本节课结合对数的产生这一史实，设计了一次“穿越时空”的数学之旅，让学生亲身经历了对数概念的产生与发展过程，让学生沐浴在先哲的思想光辉中;同时，本节课将数学史教学与数学本体知识教学巧妙融合起来，使学生在思维活跃、逻辑清晰的本体知识教学中收获真知.

如何在一节数学教学课中，为数学史、数学本体知识找到一个最佳的平衡点，并将两者熔为一炉、水乳交融？这是值得一线教师全身心投入其中、不懈探索与实践的新问题.

【参考文献】

[1]上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会.高级中学教材·数学（高中一年级第二学期试用本）[M].上海：上海教育出版社，2015.

[2]吴晨昊.HPM视角下的“对数概念及其运算”的教学[J].数学教学，2016（12）：37-41.

[3]汪晓勤.HPM：数学史与数学教育[M].上海：科学出版社，2017：451-546.