采用CN-FDTD研究不同介电常数对PRDGS传输特性的影响

金涛斌，刘正文，罗 雨，罗毅彪

(1.呼和浩特市城市轨道交通建设管理有限责任公司，呼和浩特 010000；2.北京石油化工学院 机械工程学院，北京 102617)

0 引言

20世纪50年代以来，频率选择表面(Frequency Selective Surfaces，FSS)的工作特性和工程应用得到了电磁领域的广泛重视和深入研究。通常是将单层或多层的二维金属单元结构进行周期性排列以构成FSS，而生成金属单元结构的方式通常有两类，其中一类是将金属贴片单元蚀刻在介质底板上，以构成金属单元；另一类是直接在金属板上开刻缺陷单元，以构成金属单元。FSS实质上就是一种空间滤波器，广泛应用于微波工程领域。周期性矩形缺陷接地结构(Periodic Rectangle Defected Ground Structure，PRDGS)作为一类FSS，它是在微波电路的金属板上开刻周期性的矩形缝隙单元，以抑制某些频段电磁波的传播，从而改变频率特性，在频谱上形成十分显著的阻带[1-4]。PRDGS能被用来实现微波滤波器，其阻带特性可使得天线在自身性能、抑制谐波、输出功率及功放效率等方面获得显著的提升，因此在天线及微波电路领域具有非常广大的应用和市场前景。

对PRDGS传输特性进行的计算分析，一般有三类方法。第一种为频域方法，如频域有限元方法(Frequency Domain Finite Element Method，FDFEM)。这类方法的发展比较成熟，通常我们在单一频率条件下应用此种频域方法来分析计算PRDGS是完全可行且简便的，但以该方法分析处理宽频带的电磁信号时，需要在很多不同频率点上耗费过多运算量，这将直接导致整体计算效率低下，从而限制该访求的应用范围[5-6]。由于PRDGS在宽频带范围具有非常显著的阻带，如果采用频域方法去计算PRDGS的传输特性，需要计算很多的频率点，从而大大降低计算效率。因此，计算PRDGS的宽频带特性，一般不宜采用频域方法。第二种为等效电路模型法。这种方法的优点在于电路模型直观、物理概念清晰，而这种方法的不足在于提取等效电路参数比较复杂。对于具有简单结构的PRDGS，采用等效电路模型法进行计算，是直观可行的。但是对于结构比较复杂的PRDGS，采用等效电路模型法进行计算，会导致电路参数的提取较为困难，且计算精度不高[7-8]。第三种为时域方法，如时域有限差分法(Finite Difference Time Domain Method，FDTD)或无条件稳定的时域有限差分(Crank-Nicolson FDTDM，CN-FDTD)。这种方法是在获得足够的时域信息后，再通过时频变换的简单处理，即可获得宽频带范围内的可用频域信息，因而应用该方法的优点是时域下对具有宽频带特性的瞬变电磁场可直接分析处理[9-12]。

有限元方法(Finite Element Method，FEM)虽然也可以完成时域下的计算，但其在每一个时间步都需要反复求解大型方程组，以致计算的时间复杂度和空间复杂度都很高[10]。因CN-FDTD法特别适合模拟具有宽频带、非线性特征的精细结构，而PRDGS本身结构较为简单，又兼具宽频带特性，故本文应用CN-FDTDM方法直接处理PRDGS的宽频带特性。

1 等效电路模型法和CN-FDTD法

1.1 等效电路模型法

根据微波电路理论，可以得出缺陷接地结构(Defected Ground Structure，DGS)单元的等效电路模型。文献[11]给出了通常DGS单元的等效电路模型，具有该模型结构的微波电路在特定频率上具有衰减极点和截止频率，可以近似等效为并联LC电路，如图1所示。

图1中的LC等效电路具有电路参数ZLC，XLC，其求取方法如下式，其中，DGS单元的电抗ZLC可表示为：

(1)

(2)

(3)

由于DGS单元在特定频率上具有衰减极点、截止频率，所以可等效为1阶的Butterworth低通滤波电路，如图2所示。

依据微波电路理论，可得图1中的等效电容表达式和等效电感表达式为：

(4)

(5)

通过以上分析，可以得到DGS单元的等效电路模型和相关电路参数，再通过计算可得相关微波电路的传输特性。

1.2 CN-FDTD法

CN-FDTD法采用Yee离散格式，如图3所示，其中电场和磁场在空间中相互错置，即每个电场分量均环绕四个磁场分量，同理每个磁场分量环绕四个电场分量，同时电场与磁场间在时间上错开半个步长，即时间上相差半个步长。因而，当待解电磁场的初始值与边界条件存在时，可由CN-FDTD法单步递推来求解以后各时刻的空间内的电磁场。

通过分析可知，由于CN-FDTD法是一种无条件稳定的FDTD方法，因而对于在CN-FDTD法中的时间步长的增长因子，始终可保证||≤1成立，由离散的Maxwell方程可推得一组离散方程组，将联立离散后的方程组通过整理，可得关于E分量的线性方程组，此处直接给出线性方程组如式(6)所示，其它类似的线性方程组可同理得到，具体论证详见相关文献[9]，然后，求解该线性方程组可解得E分量，最后再解得H分量。在CN-FDTD法的计算过程中可引入高斯脉冲源，对CN-FDTD过程中的稀疏矩阵方程组可以采用共轭梯度法进行处理。

(6)

2 数值结果及分析

2.1 PRDGS结构

PRDGS结构示意图和相关结构参数，如图4和图5所示；完全匹配层(Perfectly Matched Layer，PML)以及吸收边界条件的设置如图6所示。

2.2 PRDGS的传输特性

采用等效电路模型法对图示PRDGS的传输特性进行计算，可得其阻带中心频率f0：

(7)

式中，c为光速，εr为介质的相对介电常数，d为周期单元的间距。

采用CN-FDTD法对图示PRDGS的传输特性进行计算。相关结构参数和计算参数的取值为l1=120 mm，l2=30 mm，w=3 mm，d=20 mm，a=7 mm，b=7 mm，x=0 mm、y=0 mm，z=0 mm，介质板厚度设为1 mm，周期单元设为5，离散网格为4×60×480，介质的相对介电常数r分别取2.65，2.90和3.30。PML吸收层数设为15层，传统FDTD法时间步长设为Courant-Friedrich-Levy(CFL)时间步长，即tFDTD=0.42 ps，推进步数为18 000 步，物理时间为7 560 ps。而CN-FDTD法的时间步长分别设为CFL时间步长的2倍、6倍、10倍、14倍、18倍、22倍，即2tFDTD=0.84 ps，6tFDTD=2.52 ps，10tFDTD=4.2 ps，14tFDTD=5.88 ps，18tFDTD=7.56 ps，22tFDTD=9.24 ps，其它如物理时间等设置不变。

经过CN-FDTD法计算，在矩形单元尺寸一定时，介电常数取值不同情况下，PRDGS的传输特性，如图7所示。图中横轴为频率，纵轴为幅频特性，由图可知，随着介质的介电常数不断增大，阻带中心频率整体向左偏移，而阻带的带宽和深度基本不变。将等效电路模型法和CN-FDTD法所计算出的阻带中心频率f0进行比较，如表1所示。由表可知，两种方法所计算出的阻带中心频率一致性很好，平均相对误差不超过1.72 %。其中方法一为等效电路模型法，方法二为CN-FDTD法，平均相对误差以CN-FDTD计算结果为标准。

进一步，在介电常数一定时，采用CN-FDTD对不同矩形单元尺寸情况下的PRDGS传输特性进行计算，计算结果分别如图8和图9所示。此时介质的相对介电常数r=2.65，其它结构参数和计算参数取值不变。

表1 两种方法所计算出的阻带中心频率

图8给出了PRDGS在保持b=7 mm不变，a分别等于6 mm，7 mm，8 mm时，阻带特性的变化。图9给出了PRDGS在保持a=7 mm不变，b分别为6 mm，7 mm，8 mm时，阻带特性的变化。由图可知，PRDGS具有良好的阻带特性，其阻带中心频率在4.6 GHz左右，符合等效电路模型法的计算结果，且阻带宽度和阻带深度会随着矩形单元尺寸的增大而增大。

2.3 CN-FDTD时间步长与计算效率、计算精度

为衡量CN-FDTD法相较于传统FDTD法在计算效率和计算精度上的优势，引入时间节省率rTS和平均相对误差eMR两参量，同时将CN-FDTD法的时间步长与CFL时间步长的比值作为变参量，用nCFLN表示。时间节省率rTS，为将传统FDTD法计算所需时间与采用CN-FDTD法计算所需时间做差，再除以传统FDTD法计算所需时间后所得结果的百分比。平均相对误差eMR，为将CN-FDTD法计算结果与传统FDTD法计算结果做差，再除以传统FDTD法计算结果，将所得结果的绝对值取百分比，然后再取其平均值。

由上可做出采用CN-FDTD法后衡量计算效率的时间节省率rTS曲线图，如图10所示，其横轴为时间步长倍率nCFLN。当nCFLN取值为2，6，10，14，18，22，即表示CN-FDTD法计算的时间步长取为CFL时间步长的2倍、6倍、10倍、14倍、18倍、22倍时，纵轴时间节省率rTS分别对应9.1%，37.2%，62.8%，77.2%，82.8%，86.5%。观察图中rTS曲线可知，随着nCFLN倍数增大，衡量计算效率的时间节省率rTS参量不断提高，即采用CN-FDTD法时所设时间步长越长总体效率越高。

同理可做出采用CN-FDTD法后衡量计算精度的平均相对误差eMR曲线图，如图11所示，其横轴亦为nCFLN。当nCFLN时间步长倍率逐渐增大时，平均相对误差eMR越亦逐渐增大时，即计算精度越低。综上，在采用CN-FDTD法进行数据处理时，需根据实际要求平衡计算效率与计算精度两者的权重，一般情况下，应根据实际需要选择能够同时兼顾计算效率和计算精度的时间步长，而当需要较高精度时，则需要在允许的范围内适当降低计算效率，反之亦然。

3 结论

采用等效电路模型法和CN-FDTD法，研究了不同介电常数对PRDGS传输特性的影响。在矩形单元尺寸一定时，随着介质的介电常数不断增大，阻带中心频率会整体向左偏移，而阻带的宽度和深度基本保持不变。在介电常数不变的情况下，PRDGS的阻带宽度和阻带深度，会随着矩形单元尺寸a，b的增大而增大，同时阻带中心频率基本保持不变。将两种方法所计算出的阻带中心频率进行比较，一致性很好，平均相对误差小于1.72 %。通过分析CN-FDTD时间步长与效率和精度的关系，得出当计算时间步长远大于CFL法的时间步长时，其计算结果与传统FDTD计算结果仍然吻合，同时计算效率能提高77.2 %。这些有益的结论，能为PRDGS的精确计算提供一定指导。