时标上二阶脉冲动力方程边值问题正解的存在性

武利猛，张 娟，李素红，石瑞书

(河北科技师范学院，a 数学与信息科技学院，b 科研处，河北 秦皇岛，066004)

脉冲现象是连续变化的动态在某一时刻受到突然变化的影响使得能量骤增或骤减的突变现象。作为描述脉冲现象的脉冲微分方程是描述状态变量具有连续和跳跃混合的动力方程理论，在生命科学方面有着重要应用[1～10]。

2015年，Fen等[5]考虑了二阶脉冲边值问题

给出了至少存在1个正解的准则。

2016年，Li等[6]考虑了二阶脉冲边值问题

给出了该边值问题至少存在1个及3个正解的条件。

时标理论发展至今，其内容已逐渐丰富，尤其是有关时标上动力方程的研究已趋于成熟，但有关时标上脉冲动力方程的研究还较少，笔者将研究时标上脉冲动力方程解的情况。

考虑时标上二阶脉冲边值问题

(1)

(2)

(3)

将利用twin不动点定理，得到边值问题(1)～(3)至少存在2个正解的判别条件，其中

0

φp(s)是p-Laplacian算子，且

始终假设以下条件成立：

(A1)f∈C([0,T]×[0.tif,+∞),[0.tif,+∞));

(A3)ω(t)∈Cld([0,T]T×[0.tif,+∞)),且在[0,T]T上不为0，其中表达式Cld([0,T]T×[0,+∞))表示从T到[0.tif,+∞)所有的左稠密连续函数的集合，T为时标；

(A5) ∀y∈P, 存在常数ck使得|Ik(y)|≤ck,k=1,2,…,m。

1 预备知识

为简化原问题的计算，考虑如下二阶脉冲动力方程边值问题

引理1假定条件(A2)和(A4)成立，若h(t)∈Cld[0,T],h(t)≥0,则y(t)是边值问题

(4)

(5)

(6)

的解当且仅当

(7)

且y(t)≥0。

故有

(8)

(9)

又由式(6)可知，

进一步

(10)

将式(10)代入式 (9) 得

又已知h(t)≥0,由(A2)和(A4)，易知y(t)≥0。

引理2若y(t)满足引理1，则y(t)是递增的凹函数。

定义全连续算子A∶P→E,且

(11)

∀y∈P,由(A1),(A3),A的定义及引理1的证明可知

(12)

则∀y∈P,Ay是凹的，且递增非负，即Ay∈P,故A是P→P的算子。

引理4若(A1)～(A5)成立，则A∶P→P是全连续的。

证明因为ω,f,Ik均是连续的，所以A∶P→P也是连续的。

下面证明A:P→P是一致有界的。对任意常数d>0,定义闭球Bd={y∈P:‖y‖≤d},由(A5)及算子A的定义，对任意y∈Bd有

接下来证明族{Ay:y∈Bd}是等度连续的。令t,t1∈[0,T]T,

Bd={y∈P:‖y‖≤d}

因此族{Ay∶y∈Bd}是等度连续的。进一步，由Ascoli-Arzela定理可知，A∶P→P是全连续的。

γ(x)≤θ(x)≤α(x),‖x‖≤Mγ(x)

(B1)γ(Fx)>c,x∈∂P(γ,c),

(B2)θ(Fx)

(B3)P(α,a)≠∅且α(Fx)>a,x∈∂P(α,a),

a<α(x1),θ(x1)

2 边值问题的正解存在性

则边值问题 (1)～(3) 至少存在2个正解y1,y2,满足

证明已知0<ξ1<ξn-2

P(ρ,c)={y∈P∶ρ(y)

(1)验证引理5中的条件(B1)成立。选取y∈∂P(ρ,c),则ρ(y)=y(ξ1)=c,从而y(t)≥c,t∈[ξ1,ξn-2]。又易知

ρ(Ay)=Ay(ξ1)

=c

因此，引理5中的条件(B1)成立。

θ(Ay)=Ay(ξ1)

=b

引理5中的条件(B2)成立。

ω(Ay)=Ay(ξn-2)

=a

故引理5中的条件(B3)成立。

a<ω(y1),θ(y1)

3 举例

令T=[0,1]考虑边值问题

(13)

则边值问题 (13) 至少有2个正解存在。

(1)当(t,y)∈[0,1]×[0,2]时，f(t,y)=50,此时，

(2)当[0,1]×[0,40]时，f(t,y)=50,又

因此，由定理1可知边值问题 (13) 至少有2个正解。