非线性边界条件的非线性Sobolev方程非常规Hermite元分析

张步英，吕金凤，孔 亮，郑俊玲

(河北科技师范学院数学与信息科技学院，河北 秦皇岛，066004)

非线性Sobolev方程作为一类重要的数学物理方程，可用于描述多种物理现象，如流体在岩层中的流动、不同介质中的热传导过程等[1,2]。关于带有Dirichlet边界条件的非线性Sobolev方程已有较多研究成果[3～5]。与Dirichlet边界条件相比，非线性边界条件的存在使得连续问题变分形式中增加了边界项部分，从而，在半离散格式构造时需要考虑边界项逼近格式设计，这就使得其理论分析较Dirichlet边界条件的情况更加困难。因此，关于带有非线性边界条件的非线性Sobolev方程数值解法的研究成果很少。1992年，Lin等[6]基于真解的非经典Ritz投影，得到了一类带有非线性边界条件的非线性Sobolev方程半离散Galerkin格式下逼近解与真解L2模最优误差估计结果，但关于H1模意义下的逼近情况并未讨论。2019年，李先枝[7]采用文献[8]的方法，结合标准p次矩形元的性质，对一类带有非线性边界条件的线性Sobolev方程低阶混合元方法的超逼近与超收敛进行了研究。

非常规Hermite元由于其特殊构造及性质[9]，受到国内外学者的青睐。该单元已经被应用于多种类型偏微分方程数值解法的研究，如反应-扩散方程[10]、半线性粘弹性方程[11]、非线性抛物积分微分方程[12]等。然而，关于带有非线性边界条件的非线性Sobolev方程非常规Hermite元方法的研究至今未见报道。 笔者对一类带有非线性边界条件的非线性Sobolev方程非常规Hermite元方法进行研究。其中，第1部分给出了模型问题及其半离散格式；第2部分结合单元构造，对非常规Hermite元的性质进行分析，得到了精细的插值逼近性质；第3部分研究了半离散格式下逼近解与真解的超逼近性质；第4部分利用插值后处理技术得到了逼近解与真解在H1模意义下的整体超收敛结果。

1 模型问题及半离散格式

考虑下述带有非线性边界条件的非线性Sobolev方程[6]

(1)

其中，Ω是一个平面有界开区域，∂Ω为其光滑边界。a(u),b(u),c(u),f(u),g(u)及u0(x)均为已知函数，且满足下述假设条件A*:

(i) 0

(ii)a(u),b(u),c(u)具有有界导函数，并设其具有相同界值，记为K*；

(iii)g(u),f(u)满足Lipschitz连续，并设其具有相同的Lipschitz常数，记为K*。

(1)式的Galerkin变分形式为：求u(·,t)∶(0,T)→H1(Ω), 使得∀v∈H1(Ω)，有

(2)

其中，(·,·)和〈·,·〉分别表示定义在Ω和∂Ω上的函数内积运算符号。

关于非常规Hermite单元的构造参见文献[9]，在此，记相应的有限元空间为

将(2)式的Galerkin逼近格式定义为：求U(·,t)∶(0,T)→Vh，使得对于∀v∈Vh，有

(3)

其中,I∶H2(Ω)→Vh表示相应的有限元插值算子。

由文献[6]可知，半离散逼近问题(3)存在唯一解。

2 相关引理

本节结合单元构造特点，得到了一个关于Hermite元的精细插值逼近性质，并由此得到了在超逼近分析中需要的重要引理。

在本节及后续分析中，将定义在Ω和∂Ω上的范数分别记作‖·‖s=‖·‖Hs(Ω)，‖·‖0=‖·‖L2(Ω)，|·|0=|·|L2(∂Ω)；论证过程中出现的常数C均表示与h无关的正常数，不同的地方表达的值可能有所不同。

采用与文献[9]类似的方法，可得下述引理2.1成立。

引理2.1设u(·,t),ut(·,t)∈H4(Ω)，Iu及Iut分别表示u(·,t)及ut(·,t)在Vh空间中的插值函数,那么，∀v∈Vh有

(4)

(5)

引理2.2设u(·,t),ut(·,t)∈H4(Ω),a(u),b(u)∈W1,∞(Ω)×(0,T),，则∀v∈Vh有

(6)

(7)

证明：下面对(6)式进行证明。

类似地，可以证明(7)式的成立性。引理2.2证毕。

由文献[6]可得如下2个重要结果成立。

(8)

同时，如果v(·,t)∈H1(Ω)且v(·,0)=0，那么

(9)

3 超逼近性分析

定理3.1设u和U分别为(2)和(3)的解，u(·,t),ut(·,t)∈L∞((0,T);H4(Ω))，那么

‖U-Iu‖L∞(H1)+‖Ut-Iu‖L∞(H1)≤Ch3(‖ut‖L∞(H4)+‖u‖L∞(H4))

证明：∀v∈Vh，由格林公式可得

(10)

记θ=U-Iu,w=u-Iu，由(3)式与(10)式作差可得误差方程为

(11)

在(11)式中令v=θ，并对其两边关于t积分，由θ(·,0)=0可得

(12)

下面，对Nt，1≤i≤12进行估计。

由假设A*，插值定理及Cauchy不等式可得

(13)

由引理2.2及Young不等式可得

(14)

由插值定理可得

‖Iut‖L∞(L2)≤‖ut-Iut‖L∞(L2)+‖ut‖L∞(L2)≤C‖ut‖L∞(H1)

(15)

结合假设A*及(15)可得

(16)

类似的

(17)

利用(8)式，得

(18)

同理，

(19)

设h充分小，做如下归纳假设

‖θt‖L∞(L∞)≤1

(20)

那么，由假设A*及(20)式，可得

(21)

类似的

(22)

利用假设A*及(13)～(22)式，可得

利用Gronwall不等式，有

即

‖θ‖L∞(H1)≤Ch3(‖ut‖L∞(H4)+‖u‖L∞(H4))

(23)

进一步地，令(11)式中v=θt，采用类似的方法可得

‖θt‖L∞(H1)≤Ch3(‖ut‖L∞(H4)+‖u‖L∞(H4))

(24)

下面，证明归纳假设的成立性。由逆不等式，可得

‖θt‖L∞(L∞)≤C‖θt‖L∞(H1)h-2≤Ch

(25)

也就是说，(25)式左侧是h→0时的无穷小量，从而归纳假设是合理可行的。

定理3.1证毕。

4 超收敛性分析

(26)

(27)

(28)

定理4.1在定理3.1的条件下，有

‖U-u‖L∞(H1)+‖Ut-ut‖L∞(H1)≤Ch3(‖ut‖L∞(H4)+‖u‖L∞(H4))

证明:由三角不等式、定理3.1及(26)～(28)式，可得

≤Ch3(‖ut‖L∞(H4)+‖u‖L∞(H4))

类似地，

‖Ut-ut‖L∞(H1)≤Ch3(‖ut‖L∞(H4)+‖u‖L∞(H4))

定理4.1证毕。

5 结 论

通过对带有非线性边界条件的非线性Sobolev方程非常规Hermite元方法进行探讨，得到了半离散格式下逼近解与真解H1模整体超收敛结果。

对于非线性边界条件，直接在半离散逼近格式中增加了边界项部分，将其转化成∂Ω上常规非线性项误差估计进行处理；同时，将半离散问题的初值设计为原问题初值的插值，避免了非经典椭圆投影带来的计算复杂度。该思路对于带有非线性边界条件的发展方程研究具有借鉴价值。关于非常规Hermite元，得到了2个精细的插值逼近性质。结合论证过程可见，这2个性质对于超逼近结果是至关重要的。从而，进一步拓展了非常规Hermite单元的应用范围。