由一道高考题引发的思考

何春兰

【摘 要】 构造函数是解决不等式问题的基本方法，根据题目的条件，相应地构造出辅助函数。

【关键词】 变换自变量;构造函数;解答思考

在利用导数解决函数问题中，我们经常会用到构造函数的思想。构造函数是解决不等式问题的基本方法，根据题目的条件，相应地构造出辅助函数。对于含参不等式就可以通过构造不同变量的函数进行运算，通过进一步研究辅助函数的有关性质，给予巧妙的解答。

本文从一道高考试题出发，追根溯源，研究并寻求更简捷的运算方法。

例题：（2016年新课标文科卷3）设函数。

（1）讨论的单调性;

（2）证明当时，;

（3）设，证明当时，。

这里只研究第（3）问。

解：由题设，构造关于的函数，设，

则，令，解得。

当时，，单调递增;当时，，单调递减。

由（2）知，，故，

又，故当时，。

所以当时，。

这种证明方法对学生来说，难点在于如何能将与第（2）问的不等式相结合。但是换个角度考虑，打破常规，如果将着手点放在c>1，将待证的不等式移项，构造关于c的函数，则可有如下证明过程：

，

。

又。

在上单调递增，。

。

我们习惯构造关于自变量是x的函数，但是像这样，通过变换自变量，使得构造的函数形式相对简捷，从而可以简化运算，达到目的。将此方法可以推广应用，如下：

例1：恒成立，求x的取值范围。

分析：本题要求，都有恒成立，这里可以将看为自变量，看为参数，问题等价于，函数g（a）=a（3-x）+3x3-50恒成立。

解，设，

恒成立等价于恒成立，而g（a）为关于a的常函数或者一次函数，max=max。

恒成立，即，解得。

故x的取值范围是。

例2：已知a>ln2-1，求证：x>0时，。

证明：令f（x）=ex-x2+2ax-1，可设。

，是关于a的一次函数，为增函数。

在（ln2-1，+∞）单调递增，ln2-1）。

，既。

令，，

，令ln2

当单调递减;

当单调递增。

，∴在（0，+∞）单调递增，∴h（x）>h（0）=2>0。

。

也可以将这个方法应用到2018年新课标文科（I）卷和（III）中，具体过程如下：

（2018年新课标文I）已知f（x）=aex-lnx-1。（1）略;（2）当时，f（x）0。

证明：。

∵ex>0，是关于a的一次函数，且在上单调递增，

。

令。

在上单调递增，且。

∴当时，，在单调递减;当时，，单調递增，

，，

。

关于2018年新课标文科（III）卷的过程不再赘述。

波利亚：“观察可能导致发现，观察将揭示某种规则、模式或定律。” 在教学过程中，根据我们所学习的知识，通过观察，认识数学的本质特点，灵活运用所学知识和技巧进行求解，从而将抽象复杂的问题转化为具体简单的问题，使解题顺利完成。我们能从课标出发，处理好高考题，运用好高考题，研发教学资源;结合学生学习的实际做好教学设计，努力创设一种更和谐的学习氛围，充分发挥学生学习的主动性、积极性，师生之间相互配合，共同完成教学任务，就能使学习目标高质量地完成。