基于改进型指数趋近率的永磁电机滑模控制研究

2020-03-11王艾萌魏胜军

华北电力大学学报(自然科学版) 2020年1期

王艾萌，魏胜军,2

(1.华北电力大学电气与电子工程学院，河北保定 071003；2. 国网河北省电力有限公司任丘市供电分公司，河北任丘 062550)

0 引言

近年来，永磁电机(PMSM)由于功率密度高、输出转矩大以及高效等优点而在工业领域中广泛应用[1-3]。

电机的运行离不开控制。所谓电机控制，是指对电机的启动、运转及减速等过程进行操作，使其达到快速启动、快速响应、高效率和高转矩输出等目的。其中，电机控制器是实现上述操作和目的的关键部件。在永磁电机矢量控制系统中，电机控制器若采用比例积分(PI)控制技术可消除静差，改善控制系统性能，因而得到重视和广泛应用。然而，在电机实际运行中，磁链和定子电感等参数会不断变化，由此引起的不确定性因素对控制性能影响很大。另外，不同温度或运行条件也会对PMSM模型造成影响，使得系统稳定性降低。因此，为提高电机性能、提升控制系统鲁棒性，采用先进的电机控制器则十分有必要。

现今阶段，控制理论的迅速发展为实现永磁电机的高性能控制提供了可能性，但是控制方法的复杂性也限制了进一步应用。滑模控制(SMC)理论与策略应运而生，其显著优点是对于不确定参数和外界干扰具有强鲁棒性，因此逐渐成为了非线性系统中普遍采用的一种分析方法。

文献[4]和[5]对这一优点进行了详细阐述。文献[6]提出了一种混合终端滑模观测器：该观测器以非奇异终端滑模和高阶滑模为基础，用于估计转子位置和速度。文献[7]中，在一台六相感应电机控制系统中应用了滑模控制策略。文献[8]采用了一个通过封闭式采样结构表示的混合控制器来研究滑模控制器的性能。文献[9]，在永磁直线电机中应用了一种自适应增量滑模控制法，用以提升系统性能。文献[10]在无传感器系统中，同时应用了滑模观测器和滑模控制器。

上述文献的研究结果均验证了滑模控制方法的有效性。然而，一般的滑模控制法有严重的抖振现象，会影响控制系统的性能，甚至会造成系统失稳。因此，寻找合适方法解决抖振现象是应用滑模控制策略需要考虑的重点问题。许多学者正努力对此进行改进，如Levant提出了高阶滑模理论来解决这一问题[11]。此外，模糊理论、神经网络理论[12，13]等先进智能方法正在与滑模控制理论结合来实现更精确的控制。总之，滑模控制法在实际应用中会变得越来越普遍。

本文以一台7.5 kW内置式永磁电机为研究对象，基于传统滑模控制法，提出了一种改进型指数趋近率，用以抑制抖振、进一步提高电机控制系统的鲁棒性。基于所提趋近率的速度控制器的仿真结果表明：与常规指数趋近率相比，所提方法简单易行，并在动态性能以及鲁棒性方面都得到了提升。

1 电机有限元分析

电机额定参数如表1所示。电感参数是电机控制过程中必不可少的参数，为分析电机性能、得到电感参数，利用Maxwell建立了一个瞬态的2D有限元模型。电机结构模型图和空载时的磁力线分布如图1(a)、(b)所示。

对于内置式转子结构而言，永磁体的磁导率接近于空气磁导率，直轴(d轴)主磁通穿过两个永磁体，而交轴(q轴)主磁通仅穿过铁芯和气隙，所以q轴的有效气隙更小，电枢反应引起的磁饱和主要存在于q轴，造成了q轴电感要明显大于d轴电感[14]。dq轴电感的不同再加上存在交叉耦合效应，这将对电机输出转矩的准确性和控制系统的稳定性造成影响，因此需对电感参数进行分析。

图1 研究用永磁电机模型和空载磁力线分布图Fig.1 Structure model and no-load magnetic line distribution diagram of the studied PMSM

图2 dq轴电感随dq轴电流变化曲线Fig.2 Variation curve of Ld and Lq versus Id and Iq

对所研究电机进行有限元分析，可得到dq轴电感随dq电流的变化情况，如图2所示。由图可见，d轴电感值略有下降，可视为相对稳定(看成一个常数)；q轴电感值随电流增加而明显减小。一般情况下，电机电感所采用的值为电机在额定电流(IN=46.5 A)情况下的值，因此由图2分析可知，本电机额定情况时电感可选取为：Ld=0.2 mH，Lq=0.47 mH。电感的选取为后续控制仿真模型的建立提供必要的参数依据。

2 滑模控制算法

2.1 PMSM数学模型

理解掌握PMSM数学模型是对其进行控制的理论基础。在转子同步坐标系(dq坐标系)下，电压、永磁体磁链等时变参数量将转化为非时变量参数，使得分析更为方便。另外，为简化运算，需做如下假设[15]：

(1) 定子绕组三相对称且完全相同；

(2) 忽略磁路饱和、磁滞和涡流的影响，转子上没有阻尼绕组；

(3) 当定子绕组电流为三相对称正弦电流时，气隙空间中只产生正弦波分布的磁通势，无高次谐波分布；

(4) 电机在空载时定子电动势为正弦波。

dq坐标系下，PMSM电压方程如下式所示：

(1)

式中：uq、ud为交直轴端电压；iq、id为电枢电流交直轴分量；φf为永磁体磁链；Lq、Ld为交直轴定子电感；R为绕组电阻；p为极对数。

分析式(1)可知，由于定子电感和转子角速度的存在，会引起dq轴的相互耦合。为消除电流之间的相互影响，需增加电压前馈补偿模块。

电流环采用常规的PI调节器并结合前馈解耦控制策略，经过一系列合理的公式简化和推导可得到解耦后的dq轴给定电压如式(2)所示，前馈补偿模型的结构如下图3所示。

(2)

图3 电压前馈解耦模块Fig.3 Voltage feed-forward decoupling module

PMSM的转矩和运动方程分别如式(3)、(4)所示。这些方程为滑模控制算法的实现提供了必要的公式理论基础。

(3)

(4)

2.2 常规指数趋近率

如前文所述，利用滑模控制理论搭建速度控制器并取代原转速环的PI控制器，可提高电机调速系统的动态品质。电机控制系统中常采用Id=0控制，此方法简单易行，控制方便。本文即采用该控制策略，直轴电流给定值为0，而交轴电流的给定值则通过滑模控制理论搭建控制器得出。

滑模控制本质上是一种非线性控制，其有两种“模态”[16]：第一种模式叫“趋近模态”，这一步是将系统状态吸引到滑模面s=0上；第二种模式叫“滑动模态”，系统状态轨迹在滑模面附近及在滑模面上移动，直至系统到达平衡状态。

根据滑模控制的基本原理，正常运动阶段必须满足滑动模态的可达性条件[17]，如式(5)所示，才能实现系统的状态空间变量由任意未知初始状态在有限时间内达到滑模面。因此，可设计各种趋近率来保证运动阶段的品质。

采用趋近率方法能保证趋近模态良好的动态品质，也能有效抑制系统振动。常见的趋近率有等速趋近率、指数趋近率和幂次趋近率等。其中指数趋近率最为常见，表达式如下式(6)所示。

(5)

(6)

若系统状态变量定义为

(7)

式中：ω*为给定速度，一般为常数；ω为反馈转速。

结合式(1)、(3)、(4)和(7)，推出如下公式：

(8)

(9)

(10)

其中c、ε和k均为常系数，仿真时应选取合适的数值使系统性能良好。经系统调试，可得如下结论：①c越大，转矩和电流等曲线波动就越大，波形越杂乱；②ε影响微小，可忽略不计；③k效果与c类似，但比c影响程度小的多。综合分析，本系统三者取值为：c=60、ε=300、k=300。

由式(10)可确定出常规指数趋近率的滑模控制器内部结构，如下图4所示。

图4 滑模控制器内部结构Fig.4 Internal structure of sliding mode controller

2.3 改进型指数趋近率

基于对常规指数趋近率的分析，为更大程度提升控制系统的动态性能和鲁棒性，提出了一种改进型指数趋近率，如下式(11)所示：

(11)

其中：X可取x1、x2或s，即X与状态变量关系密切。引入X后，趋于稳定的速度与状态变量紧密相关。当系统状态距离滑模面较远时，X值较大，此时按照-ε|X|asgn(s)和-ks两种速率趋近于滑模面，与常规趋近率相比，趋近速度会有所提升；当系统状态接近滑模面时，-ks接近0，-ε|X|asgn(s)起主导作用。该趋近率使得状态变量很快接近于0并直至在原点稳定，这样有效抑制了抖振问题，提升了系统动态性能。

(12)

选择V=s2/2为李雅普诺夫函数，对V求导，将式(11)带入，根据李雅普诺夫稳定性判据即式(5)进行判稳，如式(13)所示。无论X取值大小，均有|X|≥0，又ε、k和a都大于0，则式(13)恒成立，根据判稳依据可知：采用改进型指数趋近率的滑模控制系统是稳定的。

-ε|X|a|s|-ks2<0

(13)

3 仿真建模与分析

为验证所提趋近率的有效性，建立了一个仿真模型，其控制系统框图如图5所示。整个速度调节系统中，包括电压前馈补偿模块、坐标变换环节以及SVPWM模块等内容。采用改进型趋近率搭建SMC控制器，其内部结构在图4基础上添加|X|a项即可。研究用PMSM参数如表2所示。电机给定转速设置为1 000 r/min，初始时刻负载转矩为0 N·m，0.15 s时改为10 N·m。由于X可以有不同取值，下面对其分别进行阐述。

表2 PMSM建模参数

图5 滑模控制系统控制框图Fig.5 Control block diagram of sliding mode control system

3.1 X取值状态变量x1

此时的指数趋近率如式(14)所示。利用该式搭建新型滑模控制器，运行仿真，并将系统响应波形与原滑模控制器波形进行对比，得出结论。

(14)

当a取值较大时，如a=4时转矩和电流参数波形如图6所示。由图分析可知，起始时刻的转矩和电流波动均较大，不利于电机平稳运行。随着a值的增大，这种波动就越大。为提升电机动态性能，维持其稳定运行，本文中a取值2和3。

图6 a=4时系统响应曲线Fig.6 System response curves when a=4

为方便作图分析比较，原滑模控制趋近率定义为SMC；a=2时趋近率定义为SMC新1；a=3时趋近率定义为SMC新2。下图7为三种趋近率性能曲线的对比，由图可以看出，三种趋近率的趋近速度、收敛过程和相轨迹虽不尽相同，但均满足滑模系统存在性、可达性和稳定性的要求。

如图7所示，新型趋近率尤其是SMC新2趋近速度更平滑，收敛过程的转速波动较小，相轨迹更加规则，因此性能更好。另外，使用三种不同的趋近率和PI算法对整体控制系统仿真建模，得出的系统响应波形对比如图8～图10所示。

PI算法与三种趋近率的转速、转矩响应曲线在接近0.08 s时重合；电流响应曲线变化趋势近似一致。对图8～图10进行详细对比分析，分析结果以图表的形式给出，如表3所示。

综合PI与三种趋近率的系统响应可知，SMC新1和SMC新2都较PI与原先的趋近率性能有所提升。其中，SMC新2趋近率的转速在启动阶段会从0平滑过渡到平衡状态，没有了转速波动；且转矩和电流波动在三种趋近率中均为最小，虽电流趋于稳定的时间略有增长，但对系统影响不大。因此，SMC新2可以视作较为适用的趋近率应用于电机控制系统中。

图7 三种趋近率性能曲线比较Fig.7 Comparison of the performance for three reaching laws

图8 PI与三种趋近率的速度响应的比较Fig.8 Comparison of speed responses between PI algorithm and three reaching laws

图9 PI与三种趋近率的转矩响应的比较Fig.9 Comparison of torque responses between PI algorithm and three reaching laws

图10 PI与三种趋近率的电流响应的比较Fig.10 Comparison of current responses between PI algorithm and three reaching laws

表3PI算法与三种趋近率的系统响应性能比较

Tab.3 Comparison of system response performance between PI algorithm and three reaching laws

算法转速响应最大转矩波动转矩响应最大转矩波动电流响应最大电流波动趋于稳定时间PI>1 400 r/min≈40 N·m≈38 A<0.05 sSMC>1 200 r/min &<1 400 r/min ≈40 N·m≈38 A<0.05 sSMC新1<1 200 r/min≈35 N·m≈30 A<0.05 sSMC新20≈13 N·m≈12 A≈0.08 s