把脉错因远离陷阱

葛松

二次函数是初中数学函数知识块的重要内容之一，也是各地中考试题中考查的重点。我们在解二次函数的问题时，往往会出现一些不同类型的错误，现对几种常见错误分类剖析，供同学们参考借鉴。

一、概念不清，忽视字母系数

例1 若y=（m2+m）xm2+1+2x+3是关于x的二次函数，则m的值为

【错解】令m2+1=2，解得mi=l，m2=-1。所以当m=±l时，y= （m2+m）xm2+1+2x+3是二次函数。

【剖析】出错的原因是概念不清。函数y=ax2+bx+c为二次函数的条件是二次项系数a≠0。当m=-l时，此函数是y=2x+3，此时是一次函数而不是二次函数。

【正解】由m2+1=2，解得m1=l，m2=一1。又因为m2+m≠0，所以m≠0且m≠-1，所以mi=l。即当m=l时，函数为y=2x2+2x+3，是二次函数。

【点评】判断函数y=ax2+bx+c是二次函数的两个条件：①未知数的最高次数是2;②二次项系数a≠0。

二、考虑不周，忽视分类讨论

例2 若函数y=（m-l ）x2-4x+2m的图像与x轴只有一个交点，则m的值为_____。

【错解】因为函数y=（m-l）x2-4x+2m的图像与x轴只有一个交点，所以b2-4ac=（-4）2-4（m-l）.2m=0，即-8m2+8m+16=0，解得m1=-1，m2=2。

【剖析】已知条件中，没有指明这个函数是关于x的二次函数，因此它还可能是一次函数。此错解因考虑不全，漏掉了一种情况。

【正解】（1）当m-1≠0时，函数为二次函数，可得m1=-l，m2=2;（2）当m-l=0，即m=l时，函数为一次函数y=-4x+2，它的图像与x轴只有一个交点，也满足题意。综上可知，m的值为-1或2或1。

【點评】对于含字母系数的函数问题，要重视对字母系数的讨论，要区别是什么函数，有交点、有一个交点或与坐标轴有两个交点等，根据题意加以界定，判断函数类型，再去解决问题。

三、范围不清，忽视增减性

例3 若点P1（一1，Y1）、P2（3，Y2）、P3（5，y3）均在二次函数y=-x2+2x+m的图像上，则Y1，Y2，y3的大小关系为（ ）。

A.y3 >Y2>Yi

B.y3 >Y2=Y1

C.Y1>Y2>Y3

D.Y1=Y2>y3

【错解】因为a=-l<0，-1<3<5，所以y3>Y2>Y1，故选A。

【剖析】错解忽视了二次函数增减性的适用范围。因为二次函数的对称轴是x=1，所以对于二次函数y=-x2+2x+m的增减性应分为x>l和x1时，y随x的增大而减小;当x

【正解】因为对称轴为x=l，所以y1=Y2;又因为抛物线开口向下，且点P2、P3都在对称轴的右侧，即y随x的增大而减小，所以Y2>Y3，即Y1=Y2>Y3，故选D。

【点评】对抛物线上点的纵坐标大小比较的关键是要看开口方向和点在对称轴的左侧还是右侧。判断的基本方法是：①利用抛物线上的对称点的纵坐标相等，把点转化到对称轴的同侧，再利用增减性比较大小;②当已知抛物线表达式和横坐标确定时，可直接求出纵坐标来比较大小;③利用数形结合的思想方法，画大致图像去判断。

四、判断不准，忽视图像位置

例4 已知二次函数y=x2+mx+n的图像与y轴交于点A，与x轴正半轴交于B、C两点，且BC=2，S△ABC=3，则m的值为____。

【错解】由S△ABC=3，BC=2，得OA=3，所以n=3;由BC=2，得m2_12=4，即m=±4，所以m=±4。

【剖析】错解没有考虑到抛物线的对称轴x=一m/2只能与x轴正半轴相交，即x=一m/2>O，所以m<0。

【正解】因为抛物线开口向上，且与x轴正半轴交于B、c两点，所以n>0，x=-m/2>0，即n>0，m<0。由S△ABC=3，BC=2，得OA=3，即n=3;由BC=2，得m2-12=4，即m=+4，所以m=-4。

【点评】在无图的情况下，要准确判断图像的位置，可以利用数形结合思想，画出大致图像后再进行解题。

五、取值不定，忽视实际条件

例5 用长30m的篱笆和一段长为8m的墙（作为其中一边）围成一个矩形场地，怎样围使得围成的矩形面积最大？最大面积是多少？

【错解】设垂直于墙的一边为xm，则S=x（30-2x）=-2 （x-7.5）2+112.5，所以当垂直于墙的一边为7.5m时，所围成的矩形面积最大，最大面积为112.5m2。

【剖析】错解没有考虑到墙的长度只有8m，而当垂直于墙的一边为7.5m时，平行于墙的一边为30-2x=15（m），不符合实际。

【正解】设垂直于墙的一边为xm，则S=x（30-2x）=-2 （x-7.5）2+112.5，因为O<30-2x≤8，即ll≤x<15，所以S随x的增大而减小，所以当x=11m时面积最大，最大面积S为88m2。

【点评】在求二次函数的最值时，要考虑到自变量的取值范围，如果对称轴对应的值不在范围内，应就近选取自变量的值代入求其最值。

（作者单位：江苏省泗阳经济开发区学校）