化“静”为“动”巧解题

李大伟

【摘要】坐标法思想是解析几何中的重要思想方法.很多平面几何的问题也可以通过坐标法思想进行处理.学生对哪种平面几何问题可以建系以及如何建系存在困难.本文通过介绍坐标法思想在解三角形和向量中的巧妙应用，为学生打开思路.

【关键词】坐标法思想;解三角形;向量

所谓坐标法思想，即建立坐标系，把几何对象转化为代数对象，把几何问题转化为代数问题，利用代数的工具、方法研究并获得结论，然后再解释几何现象.坐标法的第一步就是建立坐标系，笔者在实际教学中发现，在平面几何问题中，很多学生不会灵活建系，只会根据题目建好的坐标系进行解题，这大大窄化了坐标法思想的应用范围.事实上，很多平面几何问题都可以通过建立坐标系，通过化“静”为“动”，实现化繁为简，快速解决问题.如何想到建系，怎样建系，这是非常有价值的教学点，下面笔者结合教学经验，谈谈自己的想法.

一、坐标法思想在解三角形最值问题中的应用

解三角形问题本质上是几何问题，其中最值问题一直是学生不易解决的难点.三角形在学生的脑海中是“静”的，而最值问题是“动”的，三角形的“静”使得学生难以发现图形的变化规律，只能从代数角度进行解题，使得自己陷入“繁”“难”的困境.而坐标法思想正是沟通“静”和“动”的有力工具.解三角形的最值问题中，根据给定条件的约束，变化的图形往往都是有迹可循的.建立坐标系，把几何对象中的点、线转化为代数对象中的实数对、方程进行表示，然后再重新表述条件，往往能发现运动的点、线满足的规律，这样就可以从几何角度找到点的特殊位置，进而解决问题.

例1 若△ABC满足AB=2，AC=2BC，求面积△ABC的最大值.

分析 这道题目的条件非常简洁，很多学生的思路是利用面积公式S=12AB·BCsinB来求解.具体解法如下：

解 设BC=x，则AC=2x，根据面积公式得S△ABC=12AB·BCsinB=x1-cos2B，根据余弦定理得cosB=AB2+BC2-AC22AB·BC=4+x2-2x24x=4-x24x，代入上式得S△ABC=x1-4-x24x2=128-（x2-12）16.

由三角形三边关系有2x+x>2，x+2>2x， 解得22-2

这种解法入手容易，但学生往往不知如何把面積转化为关于某个变量的函数，且计算量比较大，学生往往会陷入繁杂的运算不能自拔.事实上，学生如果能注意到条件AC=2BC，如果点A，B是固定的，那么动点C的轨迹就有迹可循了.把条件变形成ACBC=2，就可以联想到阿氏圆，点C的轨迹方程是圆，从而这样建系就有了必要性.

解 以AB中点O为原点，建立如图1所示的直角坐标系xOy，A（-1，0），B（1，0），设点C（x，y），因为AC=2BC，所以（x+1）2+y2=2（x-1）2+y2，化简得圆D：（x-3）2+y2=8，S△ABC=12AB·|yC|=|yC|，因为（x-3）2=8-y2≥0，所以-22≤y≤22，所以S△ABC的最大值为22.

例2 （2018常州高三期末，14）已知在△ABC中，AB=AC=3，△ABC所在平面内存在点P使得PC2+PB2=3PA2=3，则△ABC面积的最大值为.

分析 本题的难点在于条件PC2+PB2=3PA2=3的转化，在平面几何中，线段的转化比较困难，学生很难把这个条件与三角形的面积联系起来，思维往往会陷入僵化.如果换个角度思考，点P要满足上述等式，显然点P的位置是要受到约束的，也就是说点P的轨迹是有章可循的，此外，PA=1也可以联想到动点P到点A的距离为定值，说明点P在定圆上，分析到这里，建系也就水到渠成了.

解 以BC的中点O为原点，建立如图2所示的直角坐标系xOy，设B（-a，0），C（a，0），A（0，b），P（x，y），且a2+b2=3.

PC2+PB2=（x-a）2+y2+（x+a）2+y2=3，化简得圆O：x2+y2=3-2a22，PA2=1，得圆A：x2+（y-b）2=1，所以点P在圆A，O上，圆A，O有交点，所以1-3-2a22≤3-a2≤1+3-2a22，化简得a2≤2316.

S△ABC=12BC·3-a2=a3-a2=-a2-322+94，当a2=2316时得S△ABC的最大值为52316.

二、坐标法思想在向量中的应用

例3 给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图3所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动.若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，则x+y的最大值是.

分析 本题的难点在于对OC=xOA+yOB的转化，学生不知如何与结论中的x+y建立联系.通过建立坐标系就可以找到向量坐标表示，从而找到x，y满足的关系，从而解决问题.

以O为原点，建立如图4所示的直角坐标系xOy，

则A（1，0），B-12，32，

设C（cosθ，sinθ），θ∈0，2π3.

OC=（cosθ，sinθ），xOA+yOB=x-12y，32y，

所以cosθ=x-12y，sinθ=32y.

解得x=cosθ+33sinθ，y=233sinθ，

所以x+y=cosθ+3sinθ，θ∈0，2π3，

即x+y=2sinθ+π6，θ∈0，2π3，

所以当θ=π3时，x+y的最大值为2.

例4 如图5所示，在矩形ABCD中，AB=2，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若AB·AF=2，则AE·BF的值是.

分析 条件AB·AF=2的难点在于AF的模长和夹角都不知道，学生不知如何利用这个条件.如果建立坐标系，就可以快速确定点的位置，从而快速解决问题.

以A为原点，建立如图6所示的直角坐标系xAy，B（2，0），E（2，1），设F（a，2），则AB=（2，0），AF=（a，2），则AB·AF=2a，所以a=1.

则AE=（2，1），BF=（1-2，2），所以AE·BF=2.

例5 （2018南京，盐城一模）如图7所示是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”.若A，B，C，D四点均位于图中的“晶格点”处，且A，B的位置如图所示，则AB·CD的最大值为.

分析 点C，D的位置在图中没有给出，其可能出现的情况众多，学生不知依据什么标准来寻找最值.通过建立坐标系，可以把AB·CD转化为代数式，从而找到C，D的最优位置.

以A为原点，建立如图8所示的直角坐标系xBy，A32，92，B（0，0），因为AB已知，要使AB·CD最大，即CD在AB方向上的投影长度最大.所以CD所在位置如图所示，此时C（0，5），D（-3，0），所以AB·CD=-32，-92·（-3，-5）=24.

三、总 结

能够利用坐标法思想进行解题的题型还有很多，在平面几何的教学中教师应该突出坐标法思想的教学，重视建系的过程，授学生以“渔”，让学生能够自主灵活建系，突破平面几何问题的难点.