浅议化归思想在高中数学函数学习中的应用

汪大友

【摘要】化归思想是一种重要的数学思想，在降低数学问题难度、成功解答数学问题中发挥着重要作用.函数是高中数学的重要知识版块，贯穿整个高中阶段，题型复杂多变，对学生的解题能力要求较高.教学中注重化归思想的应用讲解，使学生掌握化归思想应用方法与技巧，有助于学生突破函数这一学习难点，实现解题能力与效率的提升.

【关键词】高中数学;函数学习;化归思想;应用

化归思想指运用所学或积累的经验将问题由难化易、由繁化简，最终解决问题的一种思想.实践表明，在高中函数学习中学生灵活运用化归思想，可明显提高解题效率，实现解题能力与学习成绩的提升，因此，教学实践中，教师应结合具体教学内容，做好化归思想的应用講解，使学生扎实掌握这一重要知识，灵活解答各种函数试题.

一、化归思想之换元法的应用

换元法是一种重要的化归方法，在解答函数试题中应用率较高.为使学生能够掌握这一重要化归方法，一方面，教师讲解经典例题，使学生感受换元法的妙用，体会换元法在解题中的便利之处，培养学生应用换元法进行化归的意识.另一方面，教师鼓励学生总结应用换元法时的注意事项，保证换元前后参数取值范围的一致性，避免换元出错.

例1 已知f1-x1+x=1-x21+x2，求f（x）.

分析 该题是求解函数表达式的试题，属于高中函数中的常见题型.试题题干较为简洁，属于复合函数类型的试题.解答该类试题时，可考虑使用换元法，即，令t=1-x1+x，而后代入进行化简求解.需要注意的是需正确求出t的取值范围.

∵t=1-x1+x=-1-x+21+x=-1+x1+x+21+x=-1+21+x，

∴t≠-1.

同时，由t=1-x1+x，可得1-x=t（x+1），即x=1-tt+1，

∴f（t）=1-1-t1+t21+1-t1+t2=4t2t2+2=2tt2+1，

∴f（x）=2xx2+1（x≠-1）.

二、化归思想之数形结合法的应用

数形结合是高中数学常用的化归方法，通过“形”将“数”之间的关系直观地展示出来，可简化计算，提高函数试题解题效率.为使学生掌握这一方法，教师一方面，为学生讲解常见函数对应的图像，传授图像绘制技巧，如在绘制函数图像时一定要注意定义域，保证图像绘制的正确性.另一方面，为学生讲解经典函数例题，传授数形结合应用技巧.

例2 已知函数f（x）=ln（-x+1），x≤0，x2+3x，x>0， 若f（x）-（m+2）x≥0，则实数m的取值范围是.

分析 该题目是与分段函数相关的试题，难度中等.认真分析题干可知，可将f（x）-（m+2）x≥0转化为f（x）≥（m+2）x，显然需要运用数形结合法进行化归.根据题干分别绘出两个函数的图像，如图所示，便不难进行解答.

认真观察右图可知，当直线与曲线相切于原点时，对g（x）=x2+3x进行求导得g′（x）=2x+3，则m+2=3，解得m=1，当直线绕着原点从x轴转到与曲线相切时，满足题意，则0≤m+2≤3，解得-2≤m≤1.

三、化归思想之构造法的应用

高中函数学习中构造法是一种难度较大的化归方法，对学生分析问题的能力要求较高，因此，为使学生理解并掌握这一化归方法，教师一方面，做好构造法应用总结，尤其认真分析不同函数试题特征，总结构造规律，并向学生详细讲解.另一方面，优选代表性例题，对学生进行强化训练，使学生彻底掌握构造法应用技巧.

例3 已知f′（x）是函数f（x）（x∈R且x≠0）的导函数，当x>0时，xf′（x）-f（x）<0成立，记a=f（20.2）20.2，b=f（0.22）0.22，c=f（log25）log25，则（  ）.

A.a

B.b

C.c

D.c

分析 认真观察a，b，c的表达形式，可知其形式一样，不难联想到构造函数F（x）=f（x）x，对其进行求导得F′（x）=xf′（x）-f（x）x2，然后根据题干条件不难得到F（x）的单调性，问题便迎刃而解.

构造函数F（x）=f（x）x，则F′（x）=xf′（x）-f（x）x2，∵x>0时，xf′（x）-f（x）<0，显然F′（x）<0，即，函数F（x）单调递减.∵a=F（20.2），b=F（0.22），c=F（log25）.又∵log25>20.2>0.22，∴c

综上所述，化归思想在解答高中数学函数试题中效果显著，因此，为使学生更好地学习函数知识，提高函数试题解答正确率，教师一方面，为学生关注化归思想知识，使学生认识、理解化归思想，尤其做好化归方法应用讲解，指引学生更好地解题.另一方面，通过优选、精讲试题，对学生进行针对性训练，使学生彻底掌握化归方法，做到灵活应用，以不变应万变.

【参考文献】

[1]张元垚.化归思想在高中数学函数学习中的运用[J].科技经济导刊，2019（1）：142-143.

[2]吴珍珠.高中数学函数学习中如何运用化归思想[J].数学学习与研究，2018（14）：130.

[3]金仓余.化归思想在高中数学函数教学中的应用探究[J].课程教育研究，2018（26）：131-132.