考研数学分析中函数极限的计算方法

张越 王超越

【摘要】函数极限问题是考研数学分析中最常见也是最基本的问题.针对近几年某大学数学分析考研真题中所涉及的函数极限问题认真研究之后，并对其计算方法进行了全面的归纳总结，最典型的计算函数极限的方法有等价无穷小量替换、洛必达法则、导数的定义等.

【关键词】考研数学;极限;计算方法

一、利用等价无穷小量替换求极限

例1 求极限 limn→∞ne-1+1nn.

此题是某大学研究生考试初试2009年和2015年的真题.本题要求的是数列极限，为了计算简便，我们首先利用海涅定理将其转化为函数极限，再用等价无穷小量替换，当x→0时，将1-eln（1+x）x-1～1-ln（1+x）x代入后，再用洛必达法则即可.

解 先求极限 limx→0e-（1+x）1xx.

limx→0e-（1+x）1xx=limx→0e-eln（1+x）xx=e limx→01-eln（1+x）x-1x

=e limx→01-ln（1+x）xx=elimx→0x-ln（1+x）x2=e limx→01-11+x2x

=e limx→0x2x（1+x）=e2.

則 limn→∞ne-1+1nn=e2.

二、利用洛必达法则求极限

例2 设函数f（x）满足f（0）=0，f′（0）=1，求 limx→0+xf（x）.

本题是某大学考研数学分析中2011年的真题，属于0∞型，先将它变成∞∞型，再利用洛必达法则计算.

解 limx→0+xf（x）=limx→0+ef（x）lnx.

考虑 limx→0+f（x）lnx的值即可.

limx→0+f（x）lnx=limx→0+lnx1f（x）=limx→0+1x-f（x）[f（x）]2=-limx→0+[f（x）]2x

=-lim x→0+2f（x）f′（x）=0，

则 limx→0+xf（x）=limx→0+ef（x）lnx=limx→0+e0=1.

三、利用通分法求极限

在求函数的极限时，若函数是一个分式减去另外一个分式，可以考虑采用通分法，目的在于把两个分式的差化为一个分式函数，然后再用洛必达法则.

例3 求极限 limx→01ln（x+1+x2）-1ln（1+x）.

考虑先通分，然后利用等价无穷小量替换ln（x+1+x2）～x，ln（1+x）～x.

解 原式=limx→0ln（1+x）-ln（x+1+x2）ln（x+1+x2）·ln（1+x）

=limx→0ln（1+x）-ln（x+1+x2）x2

=limx→011+x-11+x2x2

=limx→01（1+x）1+x2·1+x2-（1+x）2x=-12.

四、利用泰勒公式求极限

例4 求极限 limx→0+ex-1-x1-x-cosx.

本题是某大学2010年的真题，只需要利用麦克劳林公式即可.

利用n=2时ex=1+x+x22！+…+xnn！+ο（xn），

cosx=1-x22！+x44！+…+（-1）mx2m（2m）！+ο（x2m+1），

（1+x）α=1+αx+α（α-1）2！x2+…+α（α-1）…（α-n+1）n！+ο（xn），

解 原式=limx→0+1+x+x22+ο（x3）-1-x1-x2-x28+ο（x3）-1+x2-x24！+ο（x3）

=limx→0+x22+ο（x3）-x26+ο（x3）=3.

五、利用导数的定义求极限

例5 设f（x）在[-1，1]上连续，求 limx→031+f（x）sinx-13x-1.

这道题是某大学2009年和2015年的真题，重复率之高，希望大家加以重视.

思路：本题只有连续这一个条件，所以不可以直接求导，应该利用导数的定义解答，将1换成31+f（0）sin0即可.这道题同样也在2010年和2016年出现了两次，因此，利用导数的定义求函数的极限应多加重视.

解 原式=limx→031+f（x）sinx-31+f（0）sin0x-0·x-03x-1

=（31+f（x）sinx）′|x=0·1（3x）′|x=0=13f（0）1ln3.

本文所用例题全部摘抄于某大学考研试卷数学分析中2009—2018年的真题，由于有些题有多种解答方法，本文所用的方法并非标准答案.某大学数学分析中的函数极限问题考查类型偏基础，属于整套试卷中的简单题，希望大家在考试的时候不要丢分.在历年真题中，考查最多的为导数的定义和麦克劳林公式的应用，其次为洛必达法则，而无穷小量替换多和洛必达法则结合在一起，大家可以根据题型的变化选取对应的方法.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学：第七版（上册）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]华东师范大学数学系.数学分析：第四版（上册）[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]钱吉林.数学分析题解精粹[M].武汉：崇文书局，2011.

[4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法：第二版[M].北京：高等教育出版社，2006.