一次函数中的“组合拳”

赵旭佳

在我刚刚学过一次函数不久的一次考试中，有一道题让我印象深刻，因为这题的解题思路比较多，而我的方法简单而巧妙。想知道我的方法吗？听我与你分享吧！

【题目】如图1，已知一次函数y=-1/3x+b的图像与x轴相交于点A（-6，0），与y轴相交于点B;动点P从点A出发，沿x轴向x轴的正方向运动。

（1）求6的值，并求当△PAB为等腰三角形时，点P的坐标;

①求点Q的坐标（用含t的代数式表示）;

②若点P的运动速度为每秒k个单位，在运动过程中△PAQ始终为等腰三角形，请直接写出符合题意的k值。

我的理解：对于求6的值，咱们“飘过”。值得关注的是，当“△PAB为等腰三角形时”，可没说明哪两条边相等哦，分类讨论是必须的！讨论的依据是什么呢？“顶角顶点”！在A、P、B三个点中，每一“位”都可能是顶角顶点，所以有三种情;况：AP=AB、BA=BP、PA =PB。

第（2）问的第①问，Q点在“斜着的射线AB”上运动，而且经计算，线段AB还带有根号，一开始我就有点懵。想了一

第（2）问的第②问，一下子看还挺“吓人的”，有两个动点，还有两点运动的时间，但只要仔细读题就可以发现“两个点同时出发”“△PAQ始终为等腰三角形”等条件，于是又可以将问题特殊化甚至最简单化：把t假设为1秒，接下来就与第（1）问的方法一样啦！

下面我公布答案喽：

（2）解：①当t=0时，Q的坐标为（-6，0）;当t=1时，Q的坐标为（-3，-1）;当t=2时，Q的坐标为（0，-2）……，

所以Q的坐标为（3t-6，-t）。

你做出来了吗？

做完这道题目后，细细“咀嚼”思路，我是在化一般为特殊中将陌生变为熟悉，在类比中化复杂为简单，在合理的分类讨论中不再漏解。这是将常见的、重要的数学方法体现在一次函数中，组合出拳攻击力强，同学们应引起重视。

老师点评

小作者在求Q点坐标时，善于利用“特殊化”，并用发现的规律再表示规律，让一个看似要用相似三角形的性质或三角形函数的知识才能解决的问题在八年级的学习中得以解决，这是人类认识世界、发现问题常见的思维方式。在解决k值時，小作者在认真审题的前提下，不失一般性地“特殊化”，令时间为1秒，将一个新问题转化为老问题，巧妙地绕开了时间t给解题带来的困扰。这些思维品质都值得称赞！