用二重积分和对数留数及其推广计算复积分

刘 乐, 贾耿华

(1.洛阳师范学院 数学科学学院, 河南 洛阳 471934； 2.洛阳理工学院 数理部，河南 洛阳 471023)

复积分是研究解析函数的一个重要工具，是复变函数理论的基础，解析函数的许多性质都要利用复积分来证明，比如要证明“解析函数的导函数连续”及“解析函数的各阶导数都存在”，这些看起来是微分学的问题，都要使用复积分，因此复积分在复变函数的学习中就显得尤为重要。计算复积分的方法很多，有参数方程、柯西积分定理及其推广、柯西积分公式、高阶导数公式以及留数定理等，而柯西积分公式与高阶导数公式是留数定理的特例。本文主要讨论用二重积分以及对数留数及其推广去计算复积分。

1 转化成二重积分去计算

在计算复积分时，如果积分路径封闭，且被积函数在积分路径所围的区域内处处不解析，如果用参数方程法去计算复积分则比较麻烦，此时可以将复积分转换成二重积分计算。

设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中u(x,y),v(x,y)偏导连续，则

解令f(z)=f(x+iy)=x-y+ix2，则

所以,

注：此题被积函数是关于变量x,y的函数，并且积分路径封闭。 若用参数方程法计算此积分,需要把积分路径分成3段，运算量较大，而用二重积分计算起来就方便许多。

2 用对数留数计算

因此

所以

若bj(j=1,2,…,q)为f(z)在C内部的mj阶极点，则

因此,

注:若φ(z)=1就是定理1，因此定理2可以看作是定理1的推广。

解由例2知f(z)在积分路径|z|=π内有一阶零点z=±i，二阶极点z=0,±1,±2,±3。因此,

sin 2+sin(-2)+sin 3+sin(-3)))=0。