浅析分析学中的连续概念

王燕红 熊宗洪 王守财 田学武

(贵州民族大学数据科学与信息工程学院 贵州贵阳 550025)

一、数学分析中的连续

在数学分析中，连续函数是一个十分重要的概念，它在微积分中起着不可替代的作用。数学分析由四大块组成：极限论、微分学、积分学和级数论，连续是极限论中的核心内容，微分学中微分中值定理和微积分的基本定理中函数的连续这一条件非常重要，级数论中函数项级数几大定理（和函数的连续性、逐项可积性和逐项求导性）连续这一条件是不可缺少的，在Fourie级数中级数收敛定理中，连续的条件也是显而易见的。如下将给出函数在一点连续的几种等价的描述：

定理1：设函数 )(xf 在点x0的某邻域 )(0xU 内有定义， )(xf 在点x0处连续有如下几种等价的描述：

在数学分析中，描述（1）在极限计算时较为常用；描述（2）和描述（3）在证明某些命题时较为常用；描述（4）是结合Heine定理（归结原则）而得到，在数学分析较少出现这种说法，基本不用；描述（5）在数学分析也基本未提到。综合以上几种说法，数学分析是非常具体和操作性非常强的一门基础学科，所以描述（1）-（3）用得较多；描述（4）可以验证某些函数在一点连续较为方便；描述（5）相对抽象，在数学分析中操作性不强，但事实上在后面将会发现，这种描述可以延伸到泛函分析和拓扑学中，可以说是最有“前途和生命力”的一个描述。

二、泛函分析中的连续

由于泛函分析的高度概括性和一般性，这里需要描述线性算子和泛函的连续性。由于泛函和算子都是映射的特殊情况，所以在这里只讨论映射的连续性。最后需要指出的是，由于泛函分析的“工作空间”是度量空间、线性赋范空间和内积空间，所以不可能用数学分析中绝对值来描述算子的连续性。事实上，我们可以显而易见地看到，除了定理1中描述（2）以外，其它几个描述可以继承和发展到度量空间中。

最后需要指出的是：线性赋范空间和内积空间都是特殊的度量空间，所以没有必要在这两个空间特别说明其连续性。

三、拓扑学中的连续

本节为了指明在拓扑学中的连续概念，先回顾拓扑学研究的中心任务。为此，

给出拓扑性质的定义：

定义3：如果拓扑空间X有性质P，则与X同胚的每个拓扑空间也有性质P，则称性质P叫拓扑性质（或拓扑不变性）。

拓扑不变性是指它在同胚映射下保持不变，所以点集拓扑学的中心任务是研究拓扑性质。点集拓扑学中比较常见的几个拓扑性质是：连通性、道路连通性、第一（二）可数空间和紧致性等。

综上所述，我们可以说在点集拓扑学中，两个同胚的拓扑空间，看作是“相同的”。由定义3知，同胚映射就是一个连续变换，所以毫不夸张地说，研究连续变换就是研究同胚映射，也就是研究拓扑学的中心任务。基于此，我们要迫切地说出两个拓扑空间之间的映射的连续概念。由于点集拓扑空间中不具有度量这一工具，自然也没有球形邻域的概念，但我们具有一般的拓扑邻域，为此我们只能借助拓扑邻域对拓扑空间之间映射的连续进行描述：

四、大范围分析（流形学）中的连续

可以发现，拓扑学是一门高度概括和抽象的学科，操作性不强，即涉及的计算少之又少。在拓扑学空间中，以Hausdorff拓扑空间为基础建立的流形，计算操作性比较强。因为Hausdorff拓扑空间是最接近度量空间的一种拓扑空间，所以计算操作性当然要比一般拓扑空间要强，再者就是流形上的每一点都是局部欧氏的，流形上每一点的分析性质就可以等同地在一个局部欧氏空间里进行分析。而欧式空间里操作性非常强，可见柳暗花明又一村的景象。

在流形学中，两个流形之间映射的连续性是非常重要的概念，进而可以研究两个流形的同胚。如下叙述两个流形之间映射的连续性：

定理5：设 YX:f → 是两个C∞流形间的映射，x0∈X，则f在x0处是连续的充要条件是存在x0与f(x0)邻域上的局部坐标系 ),(UU ϕ与 ),(VV φ ，使得映射

五、分析学中连续概念的统一

映射和拓扑（空间）是分析学中两个最一般的概念，为此我们给出两个拓扑空间之间映射的连续概念，事实上就是定理4的内容，这里不再赘述。

从定理4看到，仅从连续概念的发展来看，只有用邻域语言来描述函数或映射的连续性才回归到本质，这充分揭示了拓扑学位于分析学的最“顶端”，即最具有一般性。