厘清数学本质，走出“可能性”教学误区

○杨志宇 路 杰

“可能性”是“统计与概率”领域的重要教学内容。《义务教育数学课程标准（2011 年版）》对其在小学阶段的教学要求如下：通过实例感受简单的随机现象，并能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果；通过试验、游戏等活动，感受随机现象结果发生的可能性是有大小的。有些教师由于对“随机现象”“随机试验”“随机事件”等相关知识的数学本质缺乏必要的认知，在课堂教学中暴露出了很多问题，值得引起我们的重视和思考。

【教学回放】

教学内容：人教版五年级上册《可能性》

课件呈现班级举办联欢会的图片。

师：咱们班要举办联欢会了，老师提前给大家准备了一个节目。同学们猜猜是唱歌、跳舞还是朗诵？

生：可能是唱歌。

生：可能是朗诵。

生：可能是跳舞。

师：有几种可能呢？

生：有3种可能。

【诊断分析】

教学片段中，看似“可能”一词学生可以脱口而出，但此“可能”并非本节课要研究的“可能性”。本节课是用“可能”描述随机现象，随机现象是指在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。这位教师提前准备了节目，说明教师表演哪种节目是确定的，不是随机的，只不过学生不知道而已。

【教学重构】

师：咱们班要举办联欢会了，为了增加联欢会的趣味性，老师决定用抽签的办法决定谁表演唱歌，谁表演朗诵，谁表演跳舞。

（教师将事先准备好的3 张有磁性的节目签反扣在黑板上。）

师：老师想先来抽签，你猜猜我会抽到哪张节目签？（可能是唱歌，可能是朗诵，可能是跳舞。）

（教师翻开一张节目签，是跳舞。）

师：从剩下的两张节目签中再抽一张，会抽到哪种节目呢？（可能是唱歌，可能是朗诵。）

师：刚才有3 种可能，现在怎么变成2 种了？（因为跳舞已经被翻开了，不可能是跳舞了。）

（一名学生翻开一张节目签，结果是朗诵。）

师：再抽一张，结果会是什么？（一定是唱歌。）

师（小结）：不确定（随机）的事件用“可能”描述，确定的事件用“一定”或“不可能”描述。

教材中的情境是学生从3 张节目签中任意抽取一张。这样抽签活动的结果一共有3 种可能，但每次抽签前抽到哪种节目是不确定的，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性，即每种节目签被抽到的可能性都是在“教学回放”中，教师本意是想创造性地使用教材，创设有趣生动的教学情境，但由于教师对随机现象、随机事件等概念的本质不了解，制造了人为的伪随机事件。

【教学回放】

教学内容：冀教版五年级上册《可能性》

全班分8 组，4 人一组，教师组织学生抛硬币试验，每人抛10次，小组内一共抛40次。

学生抛硬币试验，并记录，再全班汇总。

教师呈现其中一个小组的记录结果。

师：随着试验次数的增加，正面朝上的可能性越来越接近总次数的一半。

（教师话音刚落，坐在前排的一名男生高高举起手来。）

生：我抛的10 次试验，正面朝上是5 次，正好是总次数的一半。但为什么抛的次数多了，反而不是一半了呢？

师：只能说明你今天的运气太好了。抛硬币试验中，只有随着次数不断增加，我们才能发现正面朝上的次数接近总次数的一半。

（该学生疑惑地坐下。）

【诊断分析】

判断硬币正面朝上的可能性的大小是典型的古典概型。从概率的本质看，古典概型的结论不是试验出来的，是计算出来的。史宁中教授曾指出：“一个硬币，先假定它正面或反面朝上的可能性是这是数学（或者称为概率），这个是通过概率定义得到的，不是依靠掷硬币验证出来的。实际上，学生做了很多次试验也得不到反而更加糊涂了。”

古典概型假定所有试验条件完全相同，这就是说每次试验条件都要一致。而在课堂试验时，学生抛硬币试验的条件极难保证一致。另外，课堂上学生抛出硬币后，硬币常从桌面上弹起，滚落到地面上，造成学生活动秩序的混乱。那么教材中创设了抛硬币的活动，我们又该如何设计教学呢？

【教学重构】

师：我们知道硬币有两个面，正反两个面朝上的可能性大小怎么样？（相等。）

师：抛硬币的时候会弹起来而且有时会掉到地上，操作起来不方便，我们能不能用摸两种不同花色的扑克牌代替抛硬币？（可以。）

师：每个小组（4 个人）拿出一张黑桃、一张红桃，分工合作，每人摸5次，这20次的结果会是什么？

生1：可能红桃和黑桃各10次。

生2：也可能红桃会比10次多。

生3：还可能20次都是红桃。

……

师：刚才不是说摸到两种花色的可能性相等吗？现在怎么会有这么多种情况？（摸到每种花色的可能性是相等的，但摸起牌来还要看运气。）

师：摸到哪种花色的牌的可能性相等是摸牌前的判断，真正摸牌的时候有偶然性，在数学上也叫随机性。

（学生小组试验。）

师：有没有哪个小组红桃和黑桃各摸到10次。

（没有一个小组举手。）

师：每个小组都摸到几次红桃呢？（最多的摸到16次，最少的摸到7次。）

师：看起来，可能性相等的情况下还会有很多随机情况发生。

师：咱们把8 个小组的结果加在一起，两种花色被摸出的次数会不会差不多呢？（也有可能差距会比较大，可以再多试验几次。）

师：在历史上，有几位数学家做过大量重复抛硬币试验，我们来看一看。（课件呈现浦丰、费勒、皮尔逊抛硬币试验的结果。）

师：通过观察这些试验的数据，同学们发现了什么？（大量重复的试验，正面朝上次数非常接近总次数的一半。）

将抛硬币换成摸扑克牌，更易于操作，降低了操作的要求，更容易保证每次试验条件的一致性。像这样，将只动手试验改为先通过头脑思考，再进行操作试验，会使学生对随机事件的偶然性及其背后的统计规律性有更深刻的认识。

【教学回放】

教学内容：游戏公平性

师：有3 张扑克牌，分别是红桃2、红桃3 和红桃4，李明和王亮两人各摸一次。李明先摸，摸出一张牌，记下点数，放回后，王亮再摸。谁摸出的点数大谁赢。游戏公平吗？

生：摸到每张牌的机会都是均等的，而且李明摸完还放回去，所以是公平的。

师：是啊，因为摸到每张牌的可能性一样，摸出牌需要放回，每人都从3 张牌中摸一张比大小，所以是公平的。

【诊断分析】

两人摸牌比点数大小一共有9 种可能，简要解析如下：假设李明摸到的牌点数是2，王亮摸到牌的点数是3，记作（2，3）。那么两人摸牌比较点数大小的9 种可能分别表示为（2，2）、（2，3）、（2，4）、（3，2）、（3，3）、（3，4）、（4，2）、（4，3）、（4，4）。其中摸到（3，2）、（4，2）、（4，3）为李明赢，摸到（2，3）、（2，4）、（3，4）为王亮赢，也就是说李明和王亮赢的可能性是即所以游戏规则公平。

【教学重构】

师：老师有3 张扑克牌，分别是红桃2、红桃3和红桃4，现在请两位同学上台摸牌，两人各摸一次。一人先摸，摸出一张牌，记下点数，放回后，另一人再摸。谁摸出的点数大谁赢。游戏公平吗？

生：摸到每张牌的机会都是均等的，而且一人摸完放回后另一人再摸牌，所以是公平的。

师：我们的游戏规则不是摸到哪张点数的牌赢，而是两个人摸牌的点数比大小，谁的点数大，谁赢。我们现在请两位同学上台来摸牌，谁想来？

（教师挑选甲、乙两人上台摸牌，甲摸到3。）

师：你可能摸到几呢？（乙：可能是2，可能是3，也可能是4。）

师：你摸到几会赢呢？（乙：我摸到4会赢。）

师：摸到3 或2 呢？（乙：摸到3 是平局，摸到2我就输了。）

师：甲同学摸到3，两人牌的点数比大小有3种情况，他摸到2 或4 呢？你有什么办法能清晰地表示出所有的可能。（可以用列表法。）

师：我们约定用一种记号表示每次两人摸到牌的点数的情况，假设甲摸到的牌点数是2，乙摸到牌的点数是3，记作（2，3）。

（2，2）（3，2）（4，2）（2，3）（3，3）（4，3）（2，4）（3，4）（4，4）

师：观察表格，一共有几种可能？（9种。）

师：甲同学有几种可能会赢呢？（3种。）

师：乙同学呢？（3种。）

师：因为每人都有3 种可能会赢，所以游戏是公平的。

“教学回放”中存在的问题，归根结底是教师对游戏中的随机事件理解不清。如果游戏规则是摸到哪个点数的牌赢，那么对应的随机事件是牌的点数，但游戏的规则是比较两张牌点数的大小，所以对应的随机事件应该是上面9种情况。