关注数学思考让运筹优化思想落地生根

兰子君执教 张丽颖设计整理

议课人员：张丽颖名师工作室 兰子君 郭海燕 道盛琴 冯玉娇 秦桂霞 王丽霞 田 璐 王丽媛 刘 丽 高 燕

指导专家：秦皇岛市海港区教师发展中心 张丽颖

课堂展示

一、游戏引入（说反话游戏）

师:同学们喜欢玩游戏吗？今天我们玩个“说反话”的游戏。

（师生轻松愉快地玩起游戏，忽然教师故意大声地说：“我是男的。”）

生:（憋了半天）我是女的。（笑声四起。）

师:谁愿意再来和老师比试比试？（气氛开始活跃，教师有意找了个女生。）

师:我越长越漂亮。

生：（很无奈地）我越长越丑陋。

师:刚才同学们都笑了，但笑过以后要有思考。你们有没有发现，刚才的游戏在玩的过程中有一个人始终占着便宜。是谁呀？（生齐喊：老师！）

师:刚才都是老师先说，这样很容易把你们逼到不好回答的境地，想不想反一下？

（学生纷纷站起来比拼，屡屡让老师陷入尴尬境地，学生已相当兴奋，完全没有了课前的紧张。）

师:看来呀，在玩游戏的时候，有时先说和后说结果会截然不同。我们再来玩个游戏，好吗？

二、探究策略（扑克牌比大小）

1.明确规则。

两组牌，一组是红桃9、7、4，一组是黑桃8、5、3，红桃比黑桃相应的牌稍大些（把牌贴到黑板上）。游戏规则：两人各选一组牌；每人每次出一张牌，各出三次，每张牌只能出一次，谁出的牌点数大谁赢；第一场谁先出，后面两场还是谁先出；三局两胜。

2.获胜——靠实力。

师:两组牌，让你们先选择，你们选哪组？

（学生异口同声：“9、7、4。”教师追问：“为什么？”学生回答：“第一组点数大，获胜机会大。”）

师:果真这样吗？我们试一试。

（教师出8、5、3，学生出9、7、4，学生3∶0获胜。）

师:看来选择大牌确实占优势。

3.获胜——靠对策。

（1）组内比试讨论。

师:这次我先选牌，我选红色的三张大牌，你们拿黑色的三张小牌，还有办法获胜吗？怎样出牌，才能获胜？（学生独立思考。）

师:已经想到小牌获胜的同学拿小牌，还没想到的同学拿大牌，同桌之间过过招，在过招的同时互相讨论、研究。（同桌比试，思考讨论。）

（2）现场比试启思。

师:现在，哪个同学能够自信地说“我拿小牌也能打败对手”，请举手！请同学们边见证边思考：他用什么办法以弱胜强？

（教师故意设陷阱：“你拿小牌，请你先出，好吧？”学生不中计：“不，请老师先出。”教师出9，学生出3。）

师:第一局你就输给我了，请问你现在要不要投降？下面的同学有谁知道，他为什么不投降？（学生纷纷举手发言，表示后面8 比7 大，5 比4 大，三局两胜。）

师:我明白了，他第一局输给老师是有目的的，目的是什么？

生:用他最小的牌输给你最大的牌。之后，他剩下的两张牌都比你大，就能赢两局。

师:我拿大牌怎么就输啦，我不服，我还要跟你再比一场。（教师出4，学生出5；教师出9，学生出3；教师出7，学生出8。学生2∶1获胜。）

师:明白了，他这叫用最小的代价换取最大的利益。看起来，选择小牌也能战胜对手。在对抗竞争中开动脑筋寻求最优方法以战胜对手，这就是对策！刚才你们用实力弱的小牌战胜老师，靠的就是对策！

（3）探究以弱制强。

师：刚才以弱胜强的对策中哪一局最为关键？为什么这一局最关键？最关键的这一局厉害在哪儿？（学生一致认为3 对9 最关键，只要把大牌的9对掉了，就能2∶1获胜。）

师：我明白了。当我出9 的时候，你们无论出几都是输，所以干脆牺牲最小的3，浪费掉我最厉害的9，用最小的代价损失掉我最强的力量，用暂时的失利换取后两局的胜利！这就是古人常说的“以弱制强”！

（4）探究后发制人。

师:你们会全盘考虑、以弱制强，就一定能取得整体胜利吗？

生:我知道，我知道，必须老师先出牌！

师:如果大牌不先出牌，小牌还能以弱胜强吗？（学生纷纷摇头，表示小牌先出的话，大牌每一局都可以出一张大过小牌的，大牌肯定完胜。）

师:必须想法让对手先出牌，然后在知己知彼的情况下，后发制人，取得整体胜利！

（5）探究实力相近。

师:有了知己知彼、后发制人、以弱制强，弱者就一定能取得胜利吗？如果老师把小的这组牌继续调小，比如把8、5、3 换成6、5、3，还是大牌先出，小牌还能胜吗？为什么？（学生悟到只有一张6 大过对方4，无法取胜。）

师:如果非要把小牌调小，你们觉得可以调小几张？调哪几张？（学生积极思考，交流并达成共识。明确只能把3 调小，另两张必须保证大于对方的4和7。）

师:通过刚才的思考，你们觉得要想以弱胜强，除了后发制人、以弱制强这两招外，弱者还必须满足什么条件？（学生悟到小牌不能太弱，至少有两张大于大牌。这就是“实力相近”。）

三、解读经典

1.引导审题，理解问题解决的条件。

师：老师特别佩服你们，在玩牌游戏中不知不觉就研究了一门重要的学问——对策问题。刚才用小牌战胜大牌就是对策问题的一种——以弱胜强。对策思想在我国源远流长，著名的历史故事《田忌赛马》就运用了这一思想。下面就让我们穿越时空，回到二千多年前的战国时期，去看一看古人是如何运用这一对策的，好吗？（课件出示《田忌赛马》课文，学生独立阅读。）

师:根据课文提供的信息，你们能用数学符号把双方的赛马按照战力从强到弱进行排序吗？试一试。（学生独立尝试，然后交流。）

生1:齐上>田上>齐中>田中>齐下>田下。

生2:A>a>B>b>C>c。

师:大小写的字母分别表示什么？A>a，B>b，C>c，是根据什么知道的？a>B，b>C，又是根据什么知道的？（学生结合课文内容分析。）

师:分析问题首先必须明确并理解条件。齐王和田忌六匹马的战力排列与我们六张扑克牌的实力排列是一样的。实力相差不太悬殊，这是孙膑后面决策的前提条件。

2.类比沟通，理解赛马策略。

师:第二次比赛孙膑战胜齐王的对策和你们用小牌战胜大牌的对策有什么相通之处？（因为有前面的阅读讨论，学生很顺利做出分析：都是在实力相近的情况下，采用了后发制人、以弱制强的策略，从而取胜。）

3.猜想验证说理，探究对策是否唯一。

师:假设骄傲的齐王一直按上、中、下的顺序出马，孙膑想到的这种策略是不是唯一能赢齐王的对策呢？（出示对阵表格）

第一场第二场第三场齐王田忌A C B A C B胜负——田忌2胜1负

（学生意见不一。）

师:看来取胜对策是否唯一，大家有不同看法。那么田忌总共有多少种可采用的对策呢？你是怎么想的？（学生出现两种意见，9种和6种。）

师:到底是9 种还是6 种，只要把各种对策一一写出来就知道了。联想搭配知识中的有序思考策略，认真填一填。（学生独立完成课本中表格，然后交流。课件完成填表。）

4.深度思考，体悟博弈。

师:如果齐王按上、中、下的顺序出马，田忌共有6种应对策略，这6种应对策略中只有一种能赢齐王。也就是说田忌获胜的可能性只有六分之一。为什么获胜的可能性很小，孙膑却胸有成竹呢？

生:因为齐王正在得意忘形之际，以为自己实力强必胜，还是按上中下的顺序出马。

师:这就叫知己知彼。就好比玩“石头、剪刀、布”，田忌看到了对方出什么才出手。（学生笑了起来。）

师：问题又来了——如果第二次比赛齐王改变出马顺序，田忌还能赢吗？赢的可能性有多大呢？我们来试一试。（将上面表格的第一行改成C、B、A，根据学生回答完成填表。）

师:齐王按下、中、上的顺序出马，田忌按方案3出马可以获胜，获胜的可能性还是——

生（齐）:六分之一。

师:像这样在了解对方出马顺序的前提下，按顺序列出自己可以采用的所有方案再一一进行分析，从中找到能够战胜对手的最合理行为方案也就是最优方案的过程，就是优化！沏茶问题我们研究的是程序的优化，烙饼问题我们研究的是空间的优化，而今天的田忌赛马我们研究的是出马顺序的优化。数学学习就是不断寻找解决问题方法，并努力寻求最优解决方法的过程。

四、应用拓展

1.拍球比赛。

（教材107页第3题）学生独立思考后交流。

2.游戏——取扑克。

游戏说明：10 张扑克牌，两人轮流取，每次只能取2 张，谁最先取到第10 张扑克牌，谁就获胜。请仔细思考必赢策略，并用你喜欢的方式表示出来。

改变游戏规则：10 张扑克牌，两人轮流取，每次只能取1 张或2 张，谁最先取到第10 张扑克牌，谁就获胜。（先独立思考，再同桌过招，最后学生打擂，启发思考，发现规律。）

议课现场

议题一：《田忌赛马》这节课的教学内涵是什么？

张丽颖：要上好课，首先必须把握教学内容的数学本质。今天我们就子君老师《田忌赛马》一课，谈谈这节课的教学内涵是什么？

兰子君：《田忌赛马—对策问题》是人教版小学数学四年级上册第八单元数学广角的第三课时。本单元共编排了3个例题。例1沏茶问题，思考怎样合理安排沏茶的各个环节才能让客人尽快喝上茶，其中“合理”“省时”是优化沏茶各程序的思考角度；例2 烙饼问题，在探究烙3 张饼怎样省时的基础上，探索烙更多张饼的最优方法和策略，探究其中的规律且明确道理；本课时“田忌赛马”是历史上“以弱胜强”的经典案例，它是在学生学习数学广角“搭配”的基础上进行教学的，意在引导学生通过简单的事例，借助有序思考寻找多种解决问题的方案，之后探寻最佳策略，体会运筹优化思想在解决实际问题中的作用。

王丽霞：本单元的副标题“优化”，本是各行各业的共同追求，在数学中“优化”也具有非常丰富的含义，本单元集中体现运筹学的“最优化”思想。3 个例题各有侧重，其中例1 沏茶问题、例2 烙饼问题运筹内涵属于规划论。例3“田忌赛马”以弱胜强通常被认为是博弈论问题。3 个例题的核心目标都是让学生感受并初步理解运筹优化思想。运筹是优化的前提，运筹的本质是各种数量关系和空间形式的分析、梳理、统筹与推理建模的过程。因此，本单元的教学对于培养学生的推理能力与模型思想也是极为有益的。

王丽媛：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习所需的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的作用。”这样的描述明确了我们作为数学教师的任务，也指出了数学教学的本质。《田忌赛马》学习后要给学生留下些什么呢？是从不同角度分析问题、周密思考的思维品质，是在所有可能采取的策略中甄选最优策略的能力，是对运筹优化思想的感悟和理解。

议题二：如何让《田忌赛马》这节课上得既有意义又有意思？

张丽颖：关于《田忌赛马》，历来有两种设计：一是遵循教材，由田忌赛马的故事（大多是视频）引入，然后围绕“田忌采用的策略是否是唯一能赢齐王的策略”这一核心问题展开探究，分析策略，体会优化思想，有味道但容易陷入单薄枯燥；二是创设扑克牌比大小的游戏情境，然后围绕“小牌如何战胜大牌”，让学生在玩中寻找对策，体会优化，有意思但容易陷入肤浅热闹。那么，如何让这节课既有意义又有意思呢？

秦桂霞：让数学课既有意思又有意义，是我们一直的追求。结合这节课，我想从“游戏与经典完美结合，让有意义与有意思和谐统一”这个角度谈谈我的想法。田忌赛马是学生耳熟能详的经典故事，可是对四年级的学生来说，他们的关注点是有趣的故事情节，若揉碎情节谈策略的选择，探究必定索然无味。本节课从师生共玩说反话游戏开始，同学们在兴趣盎然的游戏中体悟到了处于主动地位的优势；紧随其后的扑克牌游戏，学生全程参与，经由一系列有意思的比拼，大家经历了优化策略及策略有效前提的探索过程；随后田忌赛马故事的重温，让同学们体会古人对策略的应用，经历策略产生的过程。这样让游戏与经典完美结合，在有意思中体会有意义的思想，可谓润物无声。

兰子君：我同意秦老师的看法。这节课突破以往设计的窠臼，将经典与游戏完美结合，起到了“摄人魂魄”的效果。“田忌赛马”的故事学生并不陌生，在平时的课堂中，学生经常会出现“策略皆知”和“知其然而不知其所以然”的现象。为了激发探究兴趣，教师创造性地使用教材，以“扑克牌比大小”的游戏贯穿前半节课，从靠实力到靠对策，从组内比试到现场比拼，给抽象的思想赋予形象化的情境，使其在动脑、动手、动口中主动参与，自主建构，体验、领悟数学思想方法。最后教师又回归经典，将“田忌赛马”与扑克牌游戏进行类比，引导学生抓住它们之间的本质联系。在验证唯一性之后，教师再次引导学生思考“如果第二次比赛齐王改变出马顺序，田忌还能赢吗”，将学生的思维触角向深处延伸，深刻感悟优化思想，带来认识上的再突破。整堂课将游戏与经典完美结合，好玩有趣又充满浓浓的数学味。

田璐：数学是思维的体操，思维是智力的核心。我觉得本节课在“关注数学思考，让思维在生动中走向深刻”这点上做得也非常有特色。前半节课，教师引领学生在扑克牌游戏中层层深入地挖掘获胜策略——在实力相近的情况下，以弱制强、后发制人，实现整体胜利。后半节课在解读经典中引导学生将扑克牌游戏中获得的体验有效迁移，认知前后贯通，理性提升，由对阵策略提升为一种对策思想。整节课学生自始至终一直在思考。

郭海燕：我同意田璐的看法。没有数学思考，就没有真正的数学学习。扑克牌游戏探究策略环节，从“获胜靠实力”到“获胜靠对策”，再到探究“以弱制强”“后发制人”“实力相近”，不停地将学生带到疑惑的边缘，帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考。而游戏过后，回归经典，从“引导审题、理解问题解决的条件”，到“类比沟通、理解赛马策略”，再到“猜想验证说理、探究对策是否唯一”，学生对运筹优化的理解从浅显逐步走向深刻。这无疑也是思考的力量。

道盛琴：“田忌赛马”是我国民间流传的经典故事。本身极具趣味性又具有训练智能的现实价值。在本案例中，教师以“说反话”游戏为学生的“说”搭好台子，用“扑克牌游戏”为学生的数学思考提供熟悉生动的素材。学生经历独立的思考，体验“以弱胜强”的快乐，思考制胜的秘诀。思维在不断变化的情景中，围绕如何求胜而步步深入，智慧在互动中自然生长。

刘丽：数学是思维的体操，数学教学最基本的目标就是发展数学思维。如何才能让学生真实地思考？我觉得“设计有价值的问题，让问题引领探究”十分重要。本节课以“核心问题+不断追问”的形式，通过问题链不断把学生的思考引向深入，让学生经历了找寻获胜方法、感悟获胜策略、升华对策思想的全过程，特别难能可贵。

冯玉娇：我继续刘丽老师的话题。课堂中，教师用两个核心问题（小牌如何战胜大牌、田忌的策略是否是唯一的）引领教学，牢牢把准学生的思考方向。而游戏与阅读经典中通过问题链引导策略形成，又引发了学生对策略产生过程的探索及策略有效条件的感悟，拓展了学生的思维广度，提高了学生的思维深度。

高燕：本节课练习环节“游戏——取扑克”中，问题也是以问题链的形式出现的：“每次只能取2张，谁最先取到第10 张扑克牌，谁就获胜，怎么取？”“10 张扑克牌，两人轮流取，每次只能取1 张或2 张，谁最先取到第10 张扑克牌，谁就获胜，怎么取？”围绕训练目标精心设计的问题，不断将探究引向深入，最终实现自我建构。

专家指导

抓住数学本质 体悟运筹优化

张丽颖

数学教育的基本目标是“努力提升学生核心素养”。要提升素养，首先要做的是让学生学得进去，其次是让学生学得深入、深刻。因此小学数学教育应该努力让“有意义”变得“有意思”，用“有意思”来表达“有意义”。

本次观课议课活动，工作室选取《田忌赛马》作为研究内容，我们想与更多的教师探讨：如何抓住数学本质，让学生在深入的思考中体会理解运筹优化思想？如何让这节传统的数学课有味道而且有意思？

一、凸显数学味道

语文有同题课文《田忌赛马》，教学中分析得非常透彻，故事蕴含的各种道理几乎都讲到了。数学课若讲哲理，发挥空间不大。鉴于数学的学科性质，我们应当着重引导学生以数学的眼光透视故事，并将其数学化。

1.引领学生从数学角度去分析历史事件。

“根据课文提供的信息，你们能用数学符号把双方的赛马按照战力从强到弱进行排序吗”，引导学生用数学的眼光寻找故事背后的数学信息，将语文课形象化的“马速排行榜”用数学符号表示:设齐王上、中、下等马的速度为A，B，C，田忌上、中、下等马的速度为a，b，c，则A>a>B>b>C>c。明确马的实力相差不太悬殊，是孙膑后面决策的前提条件。

2.引导学生运用数学方法寻找、分析最优策略。

教学中，教师以“孙膑战胜齐王的对策和你们用小牌战胜大牌的对策有什么相通之处”为引领，让学生通过类比分析，真正理解田忌“以弱胜强”所采用的策略；再通过“假设齐王一直按上、中、下的顺序出马，孙膑想到的这种策略是不是唯一能赢齐王的对策”引导学生联想搭配知识中的有序思考，通过一一排列，找全田忌的6 种不同对策，发现只有一种对策能够三局两胜，既经历了田忌对策产生的过程，积累了相应的基本活动经验，同时更深刻地体会了“谋略在先、以弱胜强”的不易，感悟到“优化”的魅力。

3.指导学生分析实施“最优策略”的基本条件。

理解田忌实施最优策略的基本条件，才能体会对策论的重要性，感悟对策论的思想。本节课无论是导入环节通过说反话游戏让学生体会“先说和后说结果会截然不同”，还是扑克牌比大小游戏中，让学生抽丝剥茧领会只有在大小牌实力相近的前提下，让大牌先出牌，小牌才能后发制人，以弱胜强，乃至阅读经典之后的战力分析、出牌与出马策略的类比、孙膑胸有成竹原因的思考，其目的都是为了让学生知道：“最优策略”能顺利实施并取得“以弱胜强”的结果需要满足以下前提条件：一是实力相近，二是齐王先出，三是全盘考虑，以弱制强。

4.合理延伸，体会博弈。

通常在小学教学“田忌赛马”，只讲齐王固定出马顺序，田忌共有6 种对策，只有一种能使田忌三局两胜，到此为止。如此教学充其量只是讲解了一个决策论故事，构不成真正的博弈论问题。因为博弈问题最基本的特征是“策略互相牵制对抗”，通俗的说就是双方同时决策。这节数学课，教师在解读经典之后，以“如果第二次比赛齐王改变出马顺序，田忌还能赢吗？赢的可能性有多大”这一问题为载体，把田忌赛马扩展为一个博弈论问题，即假设比赛之前，齐王和田忌互相不知道对方赛马的出场顺序，两人都可以自由选择己方赛马的出场顺序。通过再次列表分析，得出只要保证让齐王先出马，不管齐王怎样出马，田忌的出马方案总是6 种，其中只有用“下对上、中对下、上对中”，才能够三局两胜。这样，使数学模型更加精准，让运筹思想以更加立体的形态植入学生心中。

二、选择合适的教学策略

1.游戏中感悟，阅读中理解，在探究类比中循序渐进地理解运筹优化。

教师通过有趣的游戏，把学生不知不觉地带入研究对策论的数学世界，让学生在游戏中思考，在思考中感悟，在感悟中学习。首先，简单有趣的说反话游戏不仅符合学生的天性，更重要的是瞬间就吸引住了学生。学生被教师逼得“狼狈不堪”，而在“反攻战役”中，学生迸发的聪明智慧又令教师“招架不及”，师生在欢声笑语中很快达到了情感的交融，奠定了整节课良好互动的基础。但游戏如果仅仅是游戏，就失去了意义。教师一句“笑过后要有思考”的提醒，其实已把本节课的核心策略之一——“先说或后说”的种子悄无声息地种在了每名学生的心田，为后面的探究做好了坚实的铺垫。

接下来的扑克牌比大小游戏，核心在于必胜策略的探究，这也是本节课的核心所在。如何让每名学生都能主动参与探究建构？如何让每名学生都能寻找到思路的突破口？如何让每名学生都能体验到成功的喜悦……显然，教师站在学生的角度，经过了精心地思考。第一轮比试证明选择大牌占优势之后，出示问题“你们拿黑色的3张小牌，还有办法获胜吗？怎样出牌才能获胜”，先独立思考，再同桌比试研究，有了初步的输赢体验后，组织全班交流。而师生打擂的交流方式，不仅有看点，且非常符合学生争强好胜的天性。师生高昂的斗智过程，吸引了所有人的眼球，在此过程中教师一个个看似轻描淡写、其实是非常适时和重要的“明知故问”，一层层拨开迷雾，学生顺藤摸瓜，轻松自如地发现了必胜的策略——以弱制强。

两次打败教师的经历，学生不仅充分享受到了胜利的愉悦，更重要的是在不断的思考中，切身体会到运筹策略在解决实际问题中的重要作用。游戏之后关于后发制人的探究因为有了说反话游戏做铺垫，自然水到渠成；而最后借助“把8、5、3 换成6、5、3，小牌还能胜吗？为什么？”“如果非要把小牌调小，你们觉得可以调小几张？调哪几张”两个问题，让学生在余兴未消之时进行深入思考，不仅训练了思维，更让学生对“实力相近”这一实施“最优策略”的基本条件有了实实在在的体会。

激烈的游戏环节结束后，课堂回归《田忌赛马》经典本身。在这一环节，教师要求学生静静阅读，静静思考，在类比中不仅打通了游戏和经典的联系，进一步体会了实力相近、以弱制强，而且经历了探究策略产生的过程，做到了知其然并知其所以然，丰富了数学活动经验。

本课中的扑克游戏与解读经典本质都是对策的探究，课堂表现上是一动一静，而教学目标上各有侧重。前者重在探究必胜方法，达成知识技能目标；后者重在感悟必胜策略，体会运筹优化思想，体现深度学习之魂。两者相辅相成，珠联璧合，实现了有意思与有意义的和谐统一。

2.问题驱动教学，思考引领建构，在深入的思考中体会运筹优化的味道。

用“生动”来诠释“深刻”，用“有意思”来表达“有意义”，追求“生动且深刻”的小学数学活力课堂，是小学数学教育观的具体表现，而“问题驱动”则是为实现这一教育观而提出的方法论。通过一系列的“问题链”，引发学生主动积极的数学探究活动，使学生在研究与解决问题的过程中持续获得数学素养的提升与发展。

田忌赛马的故事脍炙人口，加以多地语文课教学在先，学生对孙膑的取胜策略可谓一清二楚，没有新奇感，教师也卖不了关子。于是，本节课采用游戏在先、解读经典在后的方式，利用游戏激趣，在有意思的游戏中通过一个个问题不断引发学生的思考。让学生在讨论“专家赢大牌的策略厉害在哪”“有了以弱制强就一定能赢吗”“有了以弱制强、后发制人就一定能以弱胜强吗”一系列问题的过程中，从“实力相近、以弱制强、后发制人”三个维度真正地理解“以弱胜强”的对策。

在此基础上出示原文，并再次通过一连串的问题，启发联想、引发深度思考：“故事和游戏有什么相通之处”“田忌共有多少种可采用的对策，孙膑想到的是不是唯一能赢齐王的对策”“孙膑为什么胸有成竹”“如果齐王改变出马顺序，田忌还能赢吗”……如此一套组合拳，既巧妙地将游戏与经典完美结合，又弥补了游戏只寻找对策没有验证说理的缺憾，实现了既知其然又知其所以然的文化点拨，完成了对有序思考的回顾重温，体验了解决问题策略的多样化，凸显了“对策论”的应用价值。问题引领，不断引发学生思想的碰撞，学生在不断地质疑解疑中思考越来越清晰、越来越深入，切实体会到了“运筹优化”的味道。