电场图像多变幻，三条场线定乾坤

2020-02-25袁会珍

中学生数理化·高二版 2020年1期

袁会珍

静电场的图像问题有多种，其中较为常见的有φ-x图像、E—x图像、E0-x图像等。利用图像不仅可以考查同学们对与电场相关的基本概念、基本规律的理解情况，而且可以考查同学们利用数学知识解决物理问题的能力。同学们往往会由于思维能力发展得不完善，而导致难以理解图像问题，若能巧妙地画出三条具有代表性的电场线来表示题中所给的物理情境，形象直观地把抽象的问题具体化，那么就可以使得图像问题迎刃而解了。

一、循图忆知辨本质

求解带电粒子在电场中的运动问题的关键是要找到静电力，根据静电力的情况分析带电粒子的运动情况和能量变化情况。

静电力的大小、方向与电场强度有关，利用电场线可以描述场强的大小和方向。若有三条电场线则可以根据疏密情况描述电场中各点场强的大小，若已知一条电场线的方向则可以描述电势的高低，根据正电荷在电势高的地方电势能大、负电荷在电势低的地方电势能大可以判断电荷在各点的电势能的变化情况。

二、典例剖析悟方法

1.φ-x图像。

侧，两带电荷量分别为q1和q2的点电荷固定在x轴上的O、M两点，两点电荷连线上各点电势φ随x变化的关系如图1所示，其中C为ND段电势最低的点，则下列说法中正确的是（）。

A. q1、q2等量异号

B.C、D两点间场强方向沿x轴正方向

C.C点的电场强度为零

D.将一负点电荷从N点移到D点的过程中，电势能先减小后增大

解析：本题考查两个点电荷产生的电场叠加问题。根据沿電场线方向电势降低，画出z轴上的电场线方向，如图2所示，因此q1、q2为等量正电荷，选项A错误。补充O、M两点间的部分电场线，如图3所示，因此C、D两点间场强方向沿x轴负方向，选项B错误。由图3可知，C点的电场强度为零，选项C正确。将一负点电荷从N点移到D点时，所受静电力先向左再向右，位移一直向右，静电力先做负功再做正功，电势能先增大后减小（根据负电荷在电势低的地方电势能大可知，将负点电荷从N点移到D点的过程中，电势能先增大后减小），选项D错误。

答案：C

点评：在φ-x图像中，电场强度的大小等于φ-x图像斜率的大小，电场强度为零处，φ-x图像存在极值，其切线的斜率为零;在φ-x图像中，可以直接判断各点电势的高低，并可根据电势的高低关系确定电场强度的方向;在φ-x图像中，可以根据E0=qφ分析电荷移动时电势能的变化，进而判断静电力做功的正负。

注意：本题中的电场不是匀强电场，场强的大小变化情况能够判断出来，但是电场线是直线还是曲线并不能判断出来，只是这并不影响对题目的分析，即只需要画出三条电场线显示出电场强度的大小和方向即可。

2.E-x图像。

例2 真空中两个点电荷Q1、Q2分别固定在z轴上坐标原点O和x=4a的两点，在它们的连线上场强E与x的关系如图4所示（取x轴正方向为场强正方向，无穷远处为电势零点），以下判断正确的是（）。

A. Q1带正电，Q2带负电

B.Q1的电荷量是Q2的3倍

C.x轴上x=3a处的电势为零

D.正点电荷q在x轴上x=a处的电势能比在x=2a处的大

解析：本题考查两个点电荷产生的电场叠加问题，需要考虑场强的矢量性。取x轴

答案：D

点评：E-x图像反映的是电场强度随位移变化的规律，本题中E>0表示场强沿z轴正方向，E<0表示场强沿z轴负方向。E-x图像与x轴围成的“面积”表示电势差，“面积”的大小表示电势差的大小，两点的电势高低关系可以根据电场方向进行判定。

3.E0一x图像和Ek-X图像。

例3 在x轴上O、P两点分别放置电荷量为q1、q2的点电荷，一带正电的试探电荷在两点电荷连线上的电势能E0随x变化的关系如图6所示，其中A、B两点的电势能为零，BD段中C点的电势能最大，则（）。

A. q1和q2都是正电荷，且q1>q2

B.B、C两点间场强方向沿x轴负方向

C.C点的场强大于A点的场强

D.将一负点电荷从B点移到D点，静电力先做负功后做正功

解析：根据正电荷在电势高处电势能大可知，试探电荷在O、A、B、C四点的电势大小关系为φ0>φA，φB<φC，且在试探电荷运动中的某一小段位移Ax内静电力做功为qE·△x。由功能关系知△E0=-qE·△x，即△Ep/△x=-qE，因此Ep-x图像斜率的绝对值表示静电力大小。根据E0一x图像的斜率可知，从O点到A点场强减小，从A点到P点场强增大，电场线如图7所示，因此两个点电荷必定是异种电荷，选项A错误。由图7可知，B、C两点间场强方向沿x轴负方向，选项B正确。根据E0一x图像斜率的绝对值等于静电力大小，以及静电力F=qE可知，C点场强为零，A点的场强不等于零，则A点的场强比C点的大，选项C错误。将一负点电荷从B点移到D点，电势先升高后降低，电势能先减小后增大，静电力先做正功后做负功，选项D错误。

答案：B

注意：电势为零处，电场强度不一定为零。正电荷在电势高处的电势能大，负电荷在电势低处的电势能大，静电力做功的正负决定电势能的变化。

例4 一带正电的粒子仅在静电力作用下做直线运动，将初始位置O定为坐标原点和零电势能点，取粒子的运动方向为x轴的正方向，粒子动能Ek与位置坐标z的关系如图8所示。如图9所示的四幅关于场强E、粒子的速度v、加速度a、电势能E0与z的关系图像中，合理的是（）。

解析：由动能定理W=qE ·△x=△Ek可知，粒子动能Ek与位置坐

标x图像的斜率反映电场强度的变化，因此粒子所在电场是匀强电场，电场线如图10

所示，选项A错误。因为场强不变，所以粒子的加速度不变，选项C错误。由v2=2ax得v=√2ax，因此v-x图像应是一条曲线，选项B正确。根据△E0=-qE·△x可知，Ep-z图像斜率的绝对值等于静电力的大小，是一定值，选项D错误。

答案：B

點评：E0-x图像和Ek -x图像都反映了能量随位移变化的规律，图像斜率的绝对值都等于静电力的大小，根据图像可以进一步判断场强、速度、加速度等随位移的变化情况。

4.v-t图像。

例5 两个等量正点电荷固定在光滑水平面上，其连线中垂线上有A、B、C三点，如图ll甲所示，一个电荷量q=2×10^-3C、质量m=0.1 kg的小物块（可视为质点）从C点由静止释放，其运动过程中的v-t图像如图11乙所示，其中B点处为图像切线斜率最大的位置（图中标出了该切线）。下列说法中正确的是（）。

A.由C点到A点的过程中，小物块的电势能先减小后变大

B.B点的电场强度大小E=50 V/m

C.由C点到A点电场强度逐渐减小

D.由已知条件不能求出A、B两点间的

答案：B

点评：明确等量同种电荷产生电场的特点是求解本题的关键，利用v-t图像的斜率表示加速度，由牛顿第二定律求静电力、由动能定理求电势差是常用的方法。

总结：解决图像问题的核心是根据物理规律确定变量间满足的函数关系式，确定截距、斜率、面积的物理意义，并尽量将图像还原成与实际运动相关联的物理情境。针对电场中的图像问题，我们应该结合图像的物理意义，找出与静电力的关系，模拟电场线的分布，且画出至少三条电场线，将带电粒子在电场中的受力情况、能量变化情况等形象直观地展现出来，为最终实现顺利求解相关物理量提供帮助。

跟踪训练

1.一静电场的电场线平行于z轴，其电势φ随坐标z的改变而改变，如图13所示。若将一带负电的粒子（重力不计）从坐标原点o由静止释放，电场中P、Q两点的坐标分别为xP=1 mm、x0 =4 mm。下列说法中正确的是（）。

A.粒子将沿x轴正方向一直向前运动

B.粒子在P点与Q点时的加速度大小相等，方向相反

C.粒子经过P、Q两点时的动能相等

D.粒子经过P、Q两点时，静电力做功的功率相等

2.一静电场在x轴上的场强E随坐标x的变化关系如图14所示，取x轴正方向为场强的正方向，带正电的点电荷沿z轴运动，则点电荷（）。

A.在x2和x1处电势能相等

B.由x1运动到x3的过程中，电势能增大

C.由xl运动到x4的过程中，静电力先增大后减小

D.由xl运动到x4的过程中，静电力先减小后增大

3.一带负电的粒子只在静电力作用下沿x轴正方向运动，其电势能E0随位移x的变化关系如图15所示，则下列说法中正确的是（）。