投影法与微分法解平面尺寸链的比较分析

■ 江苏大学东海机械汽配研究院 （江苏连云港 222000） 孙 跃

■ 卓郎（江苏）纺织机械有限公司 （江苏常州 213200） 孙 圆

在机械制造领域，经常会遇到平面尺寸链的计算问题。所谓平面尺寸链，是指封闭环和所有组成环同处于同一平面或几个相互平行的平面内，且某些组成环不平行于封闭环的尺寸链。相对线性尺寸链而言，平面尺寸链中除了长度尺寸外，还有角度及坐标尺寸等。比如，在加工机械零件时，经常会遇到类似如图1所示的零件。加工类似零件，除了选择加工工艺基准、加工方法、加工顺序及工艺装备外，还必须计算有关工序尺寸的几何参数的允许误差，从而使加工的零件符合图样要求。目前对平面尺寸链的计算常用投影法和微分法，但两者的计算精确度有误差，下面就这两种方法进行一般公式推导以及对比分析。

1. 投影法

投影法的原理是将平面尺寸链转化为直线尺寸链求解，一般把各组成环沿封闭环所在方向投影，将二维的平面尺寸链转化为一维的直线尺寸链，建立形式上的线性尺寸链，求出封闭环与各组成环的关系方程，以确定封闭环的基本尺寸，最后根据直线尺寸链公式进行求解。下面以平面孔系尺寸链为例进行推导。

图1 多孔零件

将图1简化为如图2所示三角形，A1与A0尺寸之间的夹角为α，A2与A0尺寸之间的夹角为β，A1与A0之间的夹角为θ。通过镗孔的加工顺序可判断A1、A2为组成环，A0为封闭环。按照投影法原理将A1、A2投影到A0尺寸线上，通过三角函数关系可得如下关系式

图2 各孔距间三角关系

为便于计算，投影时公式（1）中各变量皆取平均值，可知A0尺寸为A1与A2尺寸在A0尺寸线上投影之和。

由于A1与A2尺寸公差的影响，导致角度尺寸α、β也随之在一定范围内变化。为考虑A1与A2尺寸变化对A0尺寸的影响程度，对公式（1）两边进行微分，得到方程如下

由图2可知，A1·sinα=A2·sinβ，且三角形内角和α＋β＋θ＝π，为简化计算过程，设两边夹角θ的值为一给定值，α和β为未知变量，对α＋β＋θ＝π两端微分，得到dα＝－dβ，这时可将公式（2）简化为

用公差Ti代替公式（3）中的微小增量dAi，令T0＝dA0，T1＝dA1，T2＝dA2，对各偏导数取正值，则公式（3）简化为

综上所述，可得投影法求解平面尺寸链中的孔系尺寸链的一般公式（1）和公式（4）。从两个公式形式上可以看出它们很相似，由于将A1与A2之间的夹角θ当做一个固定值，不考虑θ变化对A0的影响，公差T0的变化就仅受A1与A2的影响，而求T0的解则变成了对应的公差T1和T2的三角函数运算。事实上，θ角公差还是对A0的影响很大的，下面通过微分法求解的推导过程进行对比分析。

2. 微分法

运用全微分概念，把封闭环尺寸视为组成环的函数，设各组成环尺寸Ai为自变量，则封闭环尺寸A0为多元函数

根据全微分的概念，当各组成环变量产生微小增量时，则封闭环尺寸的增量为

用各环的公差代替微小增量dAi并对偏微分取绝对值，即可近似求得封闭环A0的公差T0为

式中，Ti为各组成环公差。

对于图1所示零件，根据余弦定理，建立方程如下

对方程两端微分并整理后可得

式中，Ti为各组成环公差，角度θ换算成弧度计算。

综上所述，可得微分法求解平面孔系尺寸链的一般公式（8）和公式（10），从公式（10）可以看出，当计算封闭环A0的公差时，考虑到了θ变化对A0的影响，比较全面。

3. 投影法求解结果

设如图1所示零件，A1＝（300±0.125）mm，A2＝（250±0.2）mm，θ＝135°±15′，求解A0的公称尺寸和公差。

根据正弦和余弦定理，求得α＝20.34°，β＝24.66°。

根据推导出的公式（1），带入相关数据，可求得A0的公称尺寸，A0＝A1·cosα＋A2·cosβ＝300×cos20.34°＋250×cos24.66°≈508.494（mm）。

根据推导出的公式（4），带入相关数据，可求得A0的公差T0＝T1·cosα＋T2·cosβ＝0.25×cos20.34°＋0.4×cos24.66°≈0.598（mm）。

所以投影法求得的孔距A0＝（508.494±0.299）mm。

4. 微分法求解结果

根据公式（8），带入相关参数，可求得A0的公称尺寸，508.494（mm）。

根据推导出的公式（1 0），带入相关数据，并将角度θ换算成弧度，可求A0的公差。Tθ＝θπ/1 8 0≈0.0 0 9，≈0.938×0.25 ＋0.909×0.4＋104.294×0.009≈1.536（mm）。

所以微分法求得的孔距A0＝（508.494±0.768）mm。

5. 对比分析

从投影法和微分法计算结果可以看出，封闭环的公称尺寸是相同的，最大差别就在于公差上，投影法封闭环公差的计算值要包含于微分法计算值区间内。投影法只考虑组成环A1与A2的影响而忽略了夹角θ公差对A0公差值的影响，而微分法既考虑组成环又考虑了夹角公差的影响。根据A1、A2、θ对A0的偏微分，求得的传递系数分别为0.938、0.909和104.294，可见夹角θ公差对封闭环的影响是最大的。

与微分法求解得出的封闭环尺寸和公差比较，投影法将夹角角度设为没有加工误差的理想情况，对实际测量尺寸的精度要求会明显提高，在生产过程中虽然最终加工的产品符合图样设计要求，但容易出现“假废品”情况，而且由于投影法计算出来的公差值较小，导致产品加工对操作员水平和设备要求高，降低了生产效率，导致生产成本上升。

6. 结语

通过对平面尺寸链中的孔系尺寸链的投影法和微分法推导及计算结果进行对比分析可知，采用投影法求解对封闭环的公称尺寸无影响，但由于不考虑角度的影响，计算得出的公差与微分法求解值有较大的差距，明显提高了封闭环的精度，导致检测时容易出现“假废品”现象。而微分法求解，由于考虑了角度公差的影响，计算准确，能够真实反映各因素对计算结果的影响，是求解平面尺寸链较好的方法。微分法只需要建立封闭环与各组成环的函数关系，特别是当尺寸链的组成环较多，投影困难，难以判断各环增、减属性时，更能体现出其优越性。

专家点评

文章的理论性很强，通过对尺寸链中的投影法和微分法进行对比分析，从推导公式和计算结果得出，两种方法的差别就在于公差上。投影法求解不考虑角度误差，容易出现“假废品”情况；微分法求解，只需建立封闭环与组成环的函数关系，并考虑角度公差值的影响，能够真实反映各项因素的影响，计算更加准确。

文章条理清晰，思路严谨，能够将抽象的尺寸链问题上升到对比分析的理论高度，结论部分也写得很好，简明扼要，有理有据，起到了画龙点睛的作用。