浅析结构随机性分析常用方法

(华南理工大学 广东 广州 510640)

一、引言

由于结构的设计、施工和使用过程中存在大量的随机不确定性因素，因此需要采用结构可靠度理论研究结构的可靠性问题。结构的可靠性是指结构在规定时间内、规定条件下完成预定功能的能力。结构的安全性、适用性和耐久性构成了结构的可靠性。而结构在规定时间内、规定条件下完成预定功能的概率，称为结构的可靠度。与结构可靠度密切相关的是结构的可靠指标和失效概率。下文将阐述在静力可靠度范围内计算结构构件可靠指标β和失效概率pf的常用方法：一次二阶矩法[1]、高次高阶矩法[1-3]、响应面法[1,4-5]以及蒙特卡洛模拟[1]。

二、常用可靠度分析方法

(一)一次二阶矩法

1.中心点法

将非线性功能函数Z在均值点μX展开成Taylor级数并取至一次项，并用随机向量X各分量的均值和方差来计算功能函数Z的前二阶矩，进而求解结构的可靠指标β的方法。

存在如下缺点：1)未考虑随机变量的概率分布；2)当随机变量不都服从正态分布或不互相独立时，中心点法计算的可靠指标和失效概率是不准确的；3)由于在Taylor展开时忽略了高阶项，功能函数的非线性程度越高，可靠指标的计算精度越低；4)最致命的缺点是同一极限状态方程的不同表达形式可得到不同的可靠指标，其原因是均值点μX不在极限状态面上，且在Taylor展开时忽略了高阶项，导致用线性化功能函数拟合非线性程度不同的真实功能函数时的精度不同。

2.验算点法

将功能函数Z的线性化Taylor展开点选在失效面上，并通过迭代计算且不断更新验算点位置，逐步求得标准化空间中原点到极限状态面的最短距离，也就是可靠指标β。

验算点法考虑了随机变量的概率分布及其相关性：1)当随机变量为非正态随机变量时，可采用JC法或映射变换法进行当量正态化处理；2)当随机变量相关时，可采用Rosenblatt变换法、正交变换法或广义随机空间分析法处理随机变量的相关性；3)对于相关非正态随机变量的情况，可采用Nataf变换考虑变量正态化引起的变量相关性的改变。

(二)高次高阶矩法

改进的一次二阶矩法将结构功能函数在验算点处展开成Taylor级数并取至一次项，以标准正态空间内坐标原点到极限状态曲面的最短距离作为结构可靠指标，所对应的是在验算点处线性化的极限状态方程(或超切平面)的可靠指标，它没有反映极限状态曲面的凹凸性，在极限状态方程的非线性程度较高时，误差较大。

针对一次二阶矩法的问题，二次二阶矩法以一次二阶矩法为基础，对一次二阶矩法的计算结果乘一个考虑功能函数二次非线性影响的系数，对其进行二次修正。二次二阶矩法通过计算非线性功能函数的二阶导数考虑极限状态曲面在验算点附近的凹向、曲率等非线性性质，在多数情况下比一次二阶矩法有着更好的计算精度。

无论一次二阶矩法还是二次二阶矩法，当随机变量分布的概型正确时，才能保证计算结果精度满足要求，相较于一次二阶矩法，二次二阶矩法虽然利用数学逼近的原则提高了计算的精度，然而实际工程遇到的问题往往与二次二阶矩的基本假定相违背，而且实际上我们遇到的问题可能并不符合数学模型，而是服从某种未知的分布或是由几种分布组合而成，此时，一次二阶矩法和二次二阶矩法的计算精度不能得到保证。二次四阶矩法和一次二阶矩法、二次二阶矩法有本质的不同，它的基本思想是从信息论的观点出发，是一种精度较高的可靠度分析方法。二次四阶矩法的核心思想是最大熵原理，即最小偏见的概率分布使熵在已知信息附加条件下最大。

(三)响应面法

对于某些复杂结构系统，随机变量的输入与输出量之间的关系是高度非线性，甚至不存在明确的显式解析表达式，而是隐式函数关系时，就不能采用上述一次二阶矩和高次高阶矩方法。若直接采用蒙特卡洛模拟计算结构失效概率，计算工作量则非常大。此时可采用响应面法，即通过输入随机变量X的值，经过结构有限元数值模拟或试验得出结构响应Y，将得到的一系列的点(XiYi)拟合成函数曲线，所得到的函数曲线即为响应面函数，用该响应面函数近似代替真实的功能函数，进而可计算结构的可靠指标和失效概率。响应面法可采用多项式作为响应面函数[1]，也可采用人工神经网络、支持向量机、Kriging模型等作为响应面函数。

(四)蒙特卡洛法

对影响结构可靠度的随机变量进行大批随机抽样，然后将这些抽样值一组一组地代入结构功能函数中，统计出令结构失效的样本数目，从而求得结构失效的频率。由频率的稳定性可知，当随机抽样数目足够大时，该频率将依概率1收敛于失效概率，这就是蒙特卡洛法(Monte Carlo)的理论基础。

MC法求解结构可靠度的优点是回避了结构可靠度分析中的数学困难，并且不受随机变量分布形式和功能函数形式的影响，原理简单，在抽取的样本数足够多时其计算结果可以认为是精确的，并因此常被用于各种近似方法计算结果的校核。该法的缺点是计算量大，当缺乏功能函数的显式表达式而需借助数值模拟试验(如借助有限元计算等)时，计算量大的缺点尤为突出，这大大限制了其实际应用的范围和程度。

三、结论

本文对目前可靠度分析领域内发展较为成熟的几种常用分析方法进行了阐述，分析了一次二阶矩法、高次高阶矩法、响应面法以及蒙特卡洛模拟法的适用条件及其优缺点，为进一步应用和改进这些方法进行结构随机性分析提供基础。