高等数学知识在高中导数教学中的应用

李海涛

(福建省三明市第二中学 365000)

高等数学这一项课程和绝大部分学科之间都存在着极为紧密的关联，而且还是理科、经济管理以及工科等许多专业最为基础的一门学科，同时这也是大学课程开始的一个基本标志.高等数学在本质上是高中数学知识进一步的发展以及延伸，在高中数学教学中应用高等数学知识能够培养学生独立思考的能力，而且还可以提高学生自身的数学思维水平.

一、导数知识与现阶段高中数学之间存在的实际联系

由于高等数学属于非数学系学生在数学方面的三大基础公共课，所以绝大部分非数学系学生在走进大学校园之后，一定会接触到高等数学这一项基础科目，同时这也展现出了高等数学在普通基础科目中所处的一个核心地位.当我们真正地与高等数学知识接触后，便可以发现其与高中所学数学知识间存在着极为密切的联系，简单来说高等数学这一科目实际上就是初等以及大学数学两者之间关联的纽带.在高中阶段有些时候由于受到知识层面的限制，很难对数学进行更深入的了解，然而在学习到高等数学知识之后这些难题便会迎刃而解.

1.能够让学生对函数有一个更加深入的了解

处于高中阶段的学生在对函数知识进行学习时，主要是理解函数定义域、函数的单调性以及周期性等等.众所周知，大多数的函数知识都可以通过图象的方式来进行展现，所以，倘若能够将函数图象顺利画出，那么学生便能够将它所对应的性质进行快速的理解与掌握，从而在对导数进行运算时进行一个熟练的运用.

2.有助学生学习导数中曲线切线这一知识点

大部分学生很容易对导数中的切线知识产生错误理解，倘若学生能够对导数定义和它的几何含义进行了解与学习，那么他便可以清楚意识到f(x)这一函数在x=x0处切线的斜率是k，同时这也是x→x0的斜率极限值，即

通过导数定义，即k=f′(x)，因此曲线y=f(x)在点(x0，y0)处的切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).

二、高等数学知识在高中导数教学中的实际应用

在高中的数学教学中，导数部分是极为重要的一个知识，但是在现阶段高中的导数教学中大多只是注重对于基本运算的训练，并未对导数本质含义、实际应用以及理论层面的证明进行深入研究与讲解.除此之外，高等数学同样也将导数这一部分作为了自身课题探究的一个主要方向，通过导数能够使不同章节之间的内容联系更加密切，从而给高等数学在理论层面提供一定的保障以及基础.在高中实际的导数教学过程中，高等数学知识有着极为重要且无法替代的作用，与高中传统的导数教学模式相对比，高等数学在导数教学方面所具有的深度、规范程度以及广度都有了一个相对显著的提升.在现阶段高中数学教学工作中，导数教学处于了一个较为关键且特殊的位置.将高等数学知识应用在高中导数教学工作中，能够让学生掌握一个更为便捷与有效的解题思路，同时还可以缓解高中学生在导数学习过程中的压力，从而使学生自身数学以及应试水平得到显著提升，最终促进学生数学思维稳定、健康发展.

1.将高等数学知识应用于函数的解析式之中

高考历年都会将函数解析公式作为最基本的一个考查内容.然而，高中数学中对于函数解析公式求解的方法过于繁琐、复杂，许多学生无法掌握.倘若学生在做题过程中出现计算失误等问题，便极有可能会丢掉这一部分的分数，但是借助高等数学中的导数拐点以及拉格朗日公式便可以最大程度降低高中生计算错误，从而使计算难度进一步下降，例如方程式y=ax3+bx2+cx+d图象和y坐标轴的交点是P，同时该曲线在点P处的切线方程是12x-y-4=0，倘若能够在x=2时取得极值，便可以尝试将函数解析式进行确定，有助于减少学生做题时间，提高学习效率.

2.通过高等数学中函数单调性来对不等式进行证明

在高中阶段，不等式的证明同样也是数学教学以及学生学习的重难点，学生很难凭借自己抽象思维去理解此类问题的解题思路，但是通过高等数学中的求极限便可以将这一过程进行简化，通过函数的变化趋势来对函数增减性进行一个大概判断，从而在一个合理区域内计算出此函数的极大与极小值.除此之外，教师也应当根据实际状况调整高等数学知识渗透的内容，从而辅助学生进行导数方面的学习.

3.对函数的极值或是最值进行求解

通过导数来对函数的极值进行解答，最有效的方法是(1)通过求导法则来对相关函数进行求导；(2)令所求导数为0，并解出此时驻点值；(3)对函数进行区间讨论，得到相关的单调性区间；(4)对极值点进行判断，最终得到极值；(5)对区间的端点值进行求解，并将其与极值进行对比，最终得到函数最值.

例如该题，已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点，而且其中m<0.求出m与n的关系表达式.

首先，f′(x)=3mx2-6(m+1)x+n，且x=1为该函数的极值点，所以f′(1)=0，即3m-6(m+1)+n=0，因此n=3m+6.

综上所述，尽管高中数学和高等数学之间存在一定差异，但是初等数学是高等数学发展的基础这一个事实是无法更改的，所以在高中进行导数教学时，一定要做好高等数学与导数之间的衔接，培养高中生用高等数学思维来对问题进行思考以及拓展的能力.除了上述两项应用之外，高中数学在向量、几何以及数列等问题上都能够借助高等数学的思维方式进行教学，因此，高中数学教师一定要找到高等数学与高中数学之间最完美的契合点，激发学生优秀的数学解题思维，最终提升自身教学质量.