函数极值点偏移问题的本质探究

广东省中山纪念中学(528454) 邓启龙

函数极值点偏移问题是近几年高考的热点，也是高考复习中的重点和难点，而处理极值点偏移问题，也有一些成熟有效的方法，比如构造对称函数、利用对数平均不等式等.本文通过对函数极值点偏移问题的本质进行探究，得到了处理函数极值点偏移问题的一种新方法.

1.极值点偏移

已知函数y=f(x)在(a,b)上连续，且在(a,b)内只有一个极值点x0.

定义1若对任意满足f(x1)=f(x2)，且a ＜x1＜x2＜b的x1,x2，都有则函数f(x)在(a,b)上极值点x0左偏.

定义2若对任意满足f(x1)=f(x2)，且a ＜x1＜x2＜b的x1,x2，都有则函数f(x)在(a,b)上极值点x0右偏.

2.本质探究

众所周知，函数f(x)在(a,b)上是单调递增还是单调递减，取决于f′(x)在(a,b)上的符号.f(x)在(a,b)上是上凸还是下凸，取决于f′′(x)在(a,b)上的符号.若f(x)在(a,b)上先递减后递增，则f(x)在(a,b)上极值点是左偏还是右偏，取决于什么呢?是不是取决于f′′′(x)在(a,b)上的符号呢?笔者先从函数f(x)的直观图象上作了一番探究，若f′′′(x)在(a,b)上是正的，则f′′(x)在(a,b)上单调递增，因为f′′(x)是f′(x)即切线斜率的瞬时变化率，表示切线斜率的变化速度，所以f(x)函数图象上点的切线斜率的变化速度越来越快，函数图象越来越陡峭，于是极值点x0右偏.若f′′′(x)在(a,b)上是负的，同理可推出极值点x0左偏.但是以上推导不能代替证明，笔者经过深入探究，得到以下定理并严格证明.

定理1已知函数f(x)在(a,b)内只有一个极值点x0，当x ∈(a,x0)时，f′(x)＜0，当x ∈(x0,b)时，f′(x)＞0.若任意x ∈(a,b)，f′′′(x)＞0 (＜0)恒成立，则f(x)在(a,b)上极值点x0右偏(左偏).

证明对任意满足f(x1)=f(x2)，且a ＜x1＜x2＜b的x1,x2，由泰勒中值定理将f(x1)和f(x2)分别在x=处泰勒展开得

由f(x1)=f(x2)得

若任意x ∈(a,b),f′′′(x)＞0 (＜0)恒 成 立，则所以则f(x)在(a,b)上极值点x0右偏(左偏).

定理1 给出了在(a,b)上先减后增的函数f(x)的极值点偏移情况的判定方法，若f(x)在(a,b)上先增后减，类似地，有以下定理(证明略)：

定理2已知函数f(x)在(a,b)内只有一个极值点x0，当x ∈(a,x0)时，f′(x)＞0，当x ∈(x0,b)时，f′(x)＜0.若任意x ∈(a,b)，f′′′(x)＞0 (＜0)恒成立，则f(x)在(a,b)上极值点x0左偏(右偏).

3.典型例题

下面给出几个典型的函数极值点偏移问题，并结合本文的定理加以分析.

例1(2016 高考全国Ⅰ卷理科第21 题)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个零点.

(1)求a的取值范围;

(2)设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2＜2.

解(1)a ＞0(过程略);

(2)由f′(x)=(x-1)(ex+2a)得f(x)在ℝ 上只有一个极值点1，当x ∈(-∞,1)时，f′(x)＜0，当x ∈(1,+∞)时，f′(x)＞0.不妨设x1＜x2，由已知可得f(x1)=f(x2)= 0，且x1＜1＜x2＜2.

(i)若x1≤0，显然有x1+x2＜2.

(ii)若x1＞0，则0＜x1＜1＜x2＜2.

因为f′′(x)=xex+2a,f′′′(x)= (x+1)ex，所以任意x ∈(0,2)，f′′′(x)＞0 恒成立.由定理1 得f(x)在(0,2)上极值点右偏，于是，得x1+x2＜2.

例2已知函数f(x)=xlnx,0＜x1＜x2且f(x1)=f(x2).证明： (1)

证明(1)由f′(x)= 1+lnx得f(x)在(0,+∞)只有一个极值点当时，f′(x)＜0，当时，f′(x)＞0.因为所以任意x ∈(0,+∞),f′′′(x)＜0 恒成立.由定理1 得f(x)在(0,+∞)上极值点左偏，于是，得

(2)令t= lnx，则第(2)问等价于已知函数g(t)=tet,t1＜ t2且g(t1)=g(t2)，证明t1+t2＜ -2.由g′(t)= (t+ 1)et得g(t)在ℝ 上只有一个极值点-1，当t ∈(-∞,-1)时，g′(t)＜0，当t ∈(-1,+∞)时，g′(t)＞0.由已知可得t1＜-1＜t2＜0.

(i)若t1≤-2，显然有t1+t2＜-2.

(ii)若t1＞-2，则-2＜t1＜-1＜t2＜0.

因为g′′(t)= (t+ 2)et,g′′′(t)= (t+ 3)et，所以任意t ∈(-2,0),g′′′(t)＞0 恒成立.由定理1 得g(t)在(-2,0)上极值点右偏，于是，得t1+t2＜-2.

例3已知函数f(x)=ax-ex有两个零点x1,x2.证明： (1)2＜x1+x2＜2 lna;(2)x1x2＜1.

证明(1)易得a ＞e.

(i)首先证明x1+x2＜2 lna.由f′(x)=a - ex得f(x)在ℝ 上只有一个极值点lna，当x ∈(-∞,lna)时，f′(x)＞0，当x ∈(lna,+∞)时，f′(x)＜0.因为f′′(x)=-ex,f′′′(x)=-ex，所以任意x ∈ℝ,f′′′(x)＜0恒成立.由定理2 得f(x)在ℝ 上极值点右偏，因为f(x1)=f(x2)=0，所以，得x1+x2＜2 lna.

(ii)再证2＜x1+x2.不妨设x1＜x2，由已知易得0＜x1＜1,x2＞lna.由f(x)=ax - ex= 0 得x -lnx= lna.构造函数g(x)=x -lnx，则g(x1)=g(x2)=lna.由得g(x)在(0,+∞)只有一个极值点1，当x ∈(0,1)时，g′(x)＜0，当x ∈(1,+∞)时，g′(x)＞0.因为所以任意x ∈(0,+∞),g′′′(x)＜0 恒成立.由定理1 得g(x)在(0,+∞)上极值点左偏，于是得2＜x1+x2.

(2)由f(x)=ax-ex= 0 得,x-lnx= lna.令t=lnx，则第(2)问等价于已知函数g(t)=et-t,t1＜t2且g(t1)=g(t2)，证明t1+t2＜0.由g′(t)=et-1 得g(t)在ℝ 上只有一个极值点0，当t ∈(-∞,0)时，g′(t)＜0，当t ∈(0,+∞)时，g′(t)＞0.因为g′′(t)=et,g′′′(t)=et,所以任意t ∈ℝ,g′′′(t)＞0 恒成立.由定理1 得g(t)在ℝ 上极值点右偏，于是得t1+t2＜0.

函数极值点偏移问题是考查导数的一种常见的题型，本文通过直观推理和严格证明对函数极值点偏移问题的本质进行探究，得到了判定函数极值点偏移的非常有效的方法.