追根求源锲而不舍—一对一道概率统计试题的探究与反思

北京师范大学盐城附属学校（224007） 郝文华

有人说，解题就像挑线头一样，一团毛线在眼前，东拉一下，西扯一下，最后搞得毫无头绪，只有放弃.但如果能够从条件出发，顺藤摸瓜，追根求源，找到题目最本质最原始的一面，挖掘出题目最深层的结构，问题便会简单很多.但是，这个过程往往蕴含着百思不解，愁肠百结，惋惜纠结，豁然开朗，别有洞天等情感历程.最近笔者就遇到一道联考试题，激起众多师生的激烈讨论和穷追不舍.

1.原题呈现

题目某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司2011－2018年的相关数据如下表所示：

注年返修率=

(Ⅰ)从该公司2011－2018年的相关数据中任意选取3年的数据，以ξ表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求ξ的分布列和数学期望；

(Ⅱ)根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润y(百万元)关于年生产台数x(万台)的线性回归方程(精确到0.01)．

附线性回归方程中，

问题(Ⅱ)答案如下：

因为x5== 6，所以去掉2015年的数据后不影响的值，所以而去掉2015年的数据之后从而回归方程为： ˆy= 0.48x+1.27．答案直接说出“因为x5==6，所以去掉2015年的数据后不影响的值”，不禁让人感到突兀，进而对其引发了一系列的猜想和探究.

2 问题再探

探究视角1研究公式

通过观察公式，很容易发现，剔除第五个样本点(6,3)之后，由于x5==6，因此(x5-)2=0，进而分母的值不会发生改变.

而分子呢? 这时，有部分同学提出，由于(x5-)=0，因此，(x5-)(y5-)=0，从而得出分子的取值也不发生改变.乍一看，似乎有点道理，但很快就有同学提出不同的意见： 虽然(x5-)(y5-)=0，但是剔除第五个样本点(6,3)之后，剩下的七个点的却发生了改变，由原来的变成现在的因此，这说明不了分子到底是变还是未变，这都有可能性，还需要进一步探究.

探究视角2进行数据实验.

取A(1,2),B(2,4),C(3,3)和D(2.7)四个样本点，则

探究视角3一般性探究.

假设样本点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,b3),··· ,(xn,yn)，其中有一个样本点(xt,yt)，且xt=，下面对剔除(xt,yt)前后的值进行对比.剔除前，

剔除后，

性质1在利用最小二乘法求样本点的线性回归直线方程时，若增减一些横坐标与相同的样本点，则不会影响所求线性回归方程的斜率，但其在y轴上的截距可能会发生改变.

为什么b的值不发生改变呢? 这需要追踪b值的来源.

探究视角4顺藤摸瓜，追根求源.

对于线性回归系数b的推导，在高中数学必修和选修教材中均有涉及，究其来源，要从平面中一个样本点(xt,yt)与一条直线y=a+bx的“距离”说起.数学中可以用多种量来刻画平面中点与直线的“接近程度”，但是在最小二乘法中，是利用[yi-(a+bxi)]2来刻画的.教材中力求利用最小二乘法找到一条最“理想”的直线y=a+bx，来拟合样本点(x1,y1),(x2,y2),··· ,(xn,yn),这就要求a,b,使这n个点与直线y=a+bx的“接近程度”之和最小，即使得Q(a,b)=(y1-a-bx1)2+(y2-a-bx2)2+···+(yn-a-bxn)2达到最小.教材中经过变形，发现当

时，Q(a,b)取最小值，可以认为，此时b的值即为函数Q(a,b)的最小值点.如果在样本点中，有一点为(xt,yt),且xt=，将其剔除，由于回归直线必过中心点(,)，因此，Q(a,b)的值将会减少一个常量(yt -)2.一个函数去掉一个常数，其最值点是不会发生改变的，因此，b的值不会发生改变.这样，就找到了b值不变的根源，问题得到解决.

3 一点思考

培养学生核心素养是当前教育改革的主旋律.新课标指出，数学课程的目标要求学生在掌握“四基”(基础知识、基本技能、基本方法和基本活动)和提高“四能”(发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力)的基础上，进一步发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科素养.其中，“数据分析和数学运算”两大素养的确立，体现了发展核心素养应遵循“科学性、时代性和民族性”三大原则，适应当前信息化、大数据时代对人才培养的要求，这也是高中数学“六大核心素养”中最鲜明、最新颖的两个基本素养.近几年来，高考中的概率与统计试题，对学生“数据分析和数学运算”能力的考查要求越来越明显.这需要在备考时，进一步回归教材，精读教材的每一个角落，对教材中的统计学知识再挖掘，并深入理解统计学原理，领悟统计学思想.对于公式，不应停留在记住结论、公式的表层上，要弄清公式的来源、变形、推导过程及公式间的内部联系.例如，对于样本数据x1,x2,x3,··· ,xn的方差公式和随机变量X的方差公式在实质上是一脉相承的关系，可通过类比进行理解记忆.

另外，在公式的变形上还要学会融会贯通，例如，2016年全国Ⅲ卷的概率统计解答题，在求相关系数r的时候，附表中给出的公式就是但是根据题目条件和所给数据，不能直接计算分子的值，这个时候就要类比教材中线性回归方程的系数公式

的结构形式，推得相关系数的变形结构

这样才能使问题迎刃而解.因此，在高三复习备考中，除了深入研究历年统计与概率真题外，还要进一步回归教材，特别是教材中知识产生的背景、过程和结论，都应认真对待，不可轻视.