简述数值模拟中离散化的方法

2020-02-19董磊磊崔之健孙明龙

云南化工 2020年9期

董磊磊，崔之健，孙明龙

（1.西安石油大学，陕西西安 710065；2.中国石油集团西部钻探工程有限公司试油公司，新疆克拉玛依 834000）

伴随着全球经济和现代化管理工业的飞速发展，相应而来的是计算机技术在各行各业的普及。这大大减少了人力的消耗，且使有些原本比较复杂的问题求解起来变得容易。计算机技术的相对成熟，再结合一些专业领域的知识，一些专业人士开发出一些软件，模拟工程领域和自然领域的各种场景，用来解决一些实际问题，其处理问题的过程叫做数值模拟。经过几十年的发展，数值模拟已经可以较为真实的模拟现场情况。通过模拟结果进而调整各个设计参数，以使设备在最优设计结构下达到最佳的工况。数值模拟把数学和计算机联系了起来，在许多工程领域扮演着不可或缺的角色。在数值模拟过程中，遇到的都是一些连续域内的非线性偏微分的问题，直接求解十分困难，而离散化的出现使这个问题简单化，变得易于求解。

1 数值模拟

在早期的工业领域，许多问题因为其实际情况的复杂性，得到其解析解非常困难。1953年，Bruce G.H和PeacemanD.W对一维气相不稳定径向和线形流进行了模拟，这是数值模拟技术初次面世。起初数值模拟的解法相对较少，相关的计算机技术不够成熟，所以只能应用于模拟一维问题。1954年，两相流动模型应运而生，West W.J和Garvin W.W针对油藏中存在的问题，模拟了不稳定两相流的流动情况［1］。

数值模拟，顾名思义就是对现实中某些工况数值的模拟，那么就必须借助电子计算机来进行［2］。既然是模拟，就会要求提供一些参数以作为原始数据，并且要根据特定问题选用适当的模拟方法。通过对有限元和有限容积有关知识的学习，熟悉了数值模拟相关理论后，接着进行大量数值模拟计算，最后的结果再以图像显示的方法展示出来，可以直观的解释某些特定问题［3］。这对学者了解发生某种现象的内部原因有很大的帮助。数值模拟在研究生涯里使用非常广泛，同时因为它需要用到计算机，因此可以叫做计算机模拟。

数值模拟其实就是用计算机做试验，并且可以较为真实的展现特定介质的工况。例如，某一特定尺寸形状的机翼在空气中的绕流情况，建立模型后，通过在计算机上模拟计算，最后将结果以图片的形式展示出来，直观明了，可以看到流场中的许多细节。计算机模拟结果与实验结果没有什么较大区别，而且简化了许多步骤，耗时较短，有利于模拟较多的不同条件下设备的运转。最后根据不同条件下模拟的结果，对比选出该设备在某些特定条件下的最佳工况的相关参数。数值模拟在处理一些几何形状复杂，或包含某些非线性特征的问题时，数值模拟可以简单地分为以下几个步骤：

1）针对特定工程问题，建立数学模型；2）模型建立完成后，就是确定计算方法；3）编制程序并进行计算；4）通过图像展示的结果进行分析，得出结论［4］。

2 离散化

离散化，就是把无限空间中有限的个体通过映射放到有限的空间中去，以此来提高算法的时空效率［5］，是在有限个体原始数据相对大小不变的情况下，按比例进行缩小后来建立相应的模型。离散化的应用在程序设计中非常普遍，在诸多可能的情况下，离散化只需考虑要使用到的值。这就大大简化了实验，同时也有效地降低了计算机处理过程中的时间复杂度。离散化可以提高一个算法的质量，而且有可能实现原本不会实现的某些算法。

区域离散化是将要计算的空间区域，划分成大量互不重叠的子区域，每个子区域有一个节点，以及此节点代表的一个控制体积，最后需要确定上述节点在空间中所处的位置和其代表的控制体积。根据选用的研究方法不同，控制体积可能是流场中一个固定的区域，也可能会随流体流动位置发生变化。网格节点一般会被看成是控制体积的代表，因为每一个节点必然对应一个控制体积，不会出现一对多或多对一的情况，且每个节点代表的位置不会重合［6］。控制体积作为一个特定的区域，并不能全部与最开始划分出来的子区域重合，这种情况也不会影响离散质量。

3 离散化方法及特点

3.1 有限差分法

有限差分法，是数值解法中发展时间较长，相对来说较为完善，也最为经典的一种离散方法［7］。差分过程是将需要求解的空间区域划分为大量的网格，根据特定的几何形状选择适当的划分方式，这样有助于简化转化方程的步骤。划分网格后，用有限个网格上的节点代替原来连续的求解域［8］，选用适当的差商形式，把原本偏微分方程（控制方程）中的偏导数项全部用差商表示出来，再经过一些处理就能得到对应的差分方程。

有限差分法将原来复杂的偏微分方程问题直接转换为代数问题的求解，不需要构造特定的函数，建模简单，编程也相对容易。适用曲线型和抛物线型相关问题的求解，椭圆形型问题应用较少，对于边界条件复杂的问题也表现出相对劣势［9］。

3.2 有限元法

有限元法，是将空间里一个连续的求解域，划分许多合适大小、形状的单元，分别在每个单元上构造插值函数，再对这些插值函数使用相应的极值原理，然后在这些所有的微小单元上都能找到一个特定的有限元方程，最后用这些有限元方程把初始问题的控制方程所代替。经过如此转换后，则所有微小单元极值的和就代表了该系统总体的极值，即将系统划分为局部单元，分别处理各局部单元后，再进行总体合成，于是使原本问题的初始控制方程就变成了含有特定边界条件的代数方程组。

有限元法在求解椭圆型问题时，有较好的适应性。相比其它方法，处理问题的过程较慢，对复杂问题分析时，占用内存较大，耗费的计算资源也很惊人，在使用时对操作者的经验要求较高。所以它在商用CFD软件中应用的不多，FIDAP软件是基于有限元方法建立的，在这个软件里较为常用［10］。

3.3 有限体积法

有限体积法，是将计算区域划分为大量的小网格，每个网格点所处的位置不同，所以其代表的一个在它周围的控制体积肯定也不同。这些控制体积不会相互重合，但是在求解的时候必须应用到他们之间的关系。用初始微分方程的形式，在这些控制体积上应用并进行积分，其中的偏导数项就会消失，对应每个网格点会得到一个相应的离散方程，联立这些方程，就会得到一个与所划分网格形式对应的离散方程组。离散方程组中的未知数会因节点所处位置不同而发生变化。

有限体积法在处理过程中需要寻求节点值，这点十分类似于前面所说的有限差分法；在积分过程中时，有限体积法需要根据网格特点，对物理量值的分布规律做出假设，这一点又与有限元法雷同。

有限体积法在使用过程中始终遵循积分守恒原理，因此不管针对微小计算单元还是结构整体，都有良好的守恒性；其插值函数可以根据具体问题灵活假设，而且对于泰勒展开造成的离散能有效的避免；对于有些结构复杂的工程问题，需要分区域划分网格时，能够很好地适应；与有限元法融合，综合彼此的优点，更好的进行流固耦合分析［11］。在对控制体积积分进行计算时，有限积分法需要使用到插值函数。离散方程在这个插值函数的作用下，比较容易得出，而且有限积分法不要求微分方程里的所有项必须采取同一种插值函数。这也是其优于其他离散方法的一个方面。