深“挖”概念 促进理解——以函数一章为例浅谈数学概念教与学

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一、问题的产生与解决

1.背景

高一第一学期第一次月考数学试卷中的两道题：

15.若函数y=f（x+1）的定义域为[-2，4]，则函数y=f（2x-1）的定义域为.

18.已知f（x）是定义域在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x3+x+1，求f（x）的解析式.

经统计，这两道题全年级的正答率分别为21.7%和 35%。

2.错因分析

为了分析错因，笔者设计以下两个问题与学生交流：

问题1.f（x+1）和f（2x-1）的定义域分别指的是什么?

问题2.你认为f（x）可以表示哪些意义?

结果，第1个问题只有32%的学生回答正确；第2个问题有63%的学生回答“它指的是以x为自变量的函数”，只有37%的学生回答“它可以指自变量取值为x时的函数值”。

由此不难发现，在概念的教与学中，对概念的呈现、形成和运用等环节缺乏精心设计与必要思考。

3.针对性补偿教学

找出了问题，笔者进行了相应的补偿性教学。

案例1.针对15题，笔者设计了以下课堂提问：

问题1：函数的定义域指的是什么?你如何理解?

学生回答：函数的定义域指的是函数自变量的取值集合。

教师进一步追问：这启发我们求定义域先看什么？

学生：先看自变量是什么。

问题2：函数f（x+1）的自变量是什么?函数f（2x-1）的自变量又是什么?

学生答案不一，少数学生说自变量仍是x，大部 分学生说 f（x+1）的 自 变量是 x+1，f（2x-1）的自变量是 2x-1.

教师启发学生举例说明.

问题3：结合上述例子说明函数y=f（x+1）的定义域与函数y=f（2x-1）的定义域的联系是什么?

学生：函数y=f（x+1）中x+1的范围与y=f（2x-1）中2x-1的范围一致.

案例2. 针对18题，笔者设计了以下课堂提问：

问题 1：请你依据课本，回答：f（x）的含义有哪些?

学生：f（x）指的是关于x的函数，也表示与x对应的函数值.

问题 2：已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x＞0 时，f（x）=x3+x+1.你能否求解 f（-2）和f（a）（a＜0）?

学生：f（2）=11，f（-2）=-f（2）=-11，

当 a＜0 时，-a＞0，则 f（-a）=-a3+a+1，得f（a）=-f（-a）=a3+a-1.

问题3：当x＜0时，能否求出相应的函数值 f（x）?

学生很容易得出x＜0时，f（x）=x3+x-1，从而顺利解答18题.

二、深“挖”概念促理解的策略

1.回归教材，培养学生提取信息的能力

讲授数学概念之前，应适当预设一些问题让学生独立思考，并通过阅读教材促进学生对概念的挖掘，培养其自学能力。在遇到困惑时，引导学生回归教材，从数学概念本身寻找思维的突破口。如在函数奇偶性的学习中，很多学生在判断函数奇偶性时容易忽略“定义域对称”这一必要条件。其原因主要是学生对于定义中“任意一个x”的“任意”二字的理解。若在此处教师能精心设计问题，如“你是如何理解‘任意’的？在判断函数奇偶性时需要注意什么？”，效果是不言而喻的。

2.创设恰当情境，促进概念理解完整化

一个概念的形成是呈螺旋式上升的，要经过具体到抽象、感性到理性的过程。恰当的情境创设能使概念的形成自然、合理。情境创设是否合理决定于所举例子能否促进概念理解的完整化。如在函数概念一节的情境创设中，既要有用解析式表达的函数例子，也要有用图象和列表表达的函数例子，否则学生容易形成“函数就一个解析式”的错误印象。问题情境的创设既要能激发学生的求知欲，又要能使学生在问题的解决中体会到概念的合理性。如对函数单调性定义中“任意”的理解，若在其中依次设置问题：“存在 x1，x2， 当 a＜x1＜x2＜b时，有 f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜f（b），能保证函数 y=f（x）在区间[a，b]上递增吗？”“存在 x1，x2，x3，当 a＜x1＜x2＜x3＜b 时，有 f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜f（x3）＜f（b），能保证函数 y=f（x）在区间[a，b]上递增吗？ ”“你认为n需要如何取值时，当a＜x1＜x2＜x3＜…＜xn＜b，则 f（a）＜f（x1）＜f（x2）＜…＜f（xn）＜f（b） ，才能保证函数 y=f（x）在区间[a，b]上递增？ ”

3.恰当类比，使概念理解形象化、直观化

某些情况下，对于数学中的抽象概念，简单的推理与阐释难以奏效。这时，恰当使用类比可以变陌生为熟悉，化抽象为形象，能增加学生对数学的学习兴趣，提高学生的观察能力和概括能力。如关于函数的三要素，学生理解模棱两可，课堂教学中笔者就将“定义域、对应关系和值域”分别类比于“布料、加工程序和服装”，学生表现出极大的兴趣并容易突破这一难点。

4.正反举例，突破理解瓶颈

通过举例理解与巩固数学概念是教师在教学中常用的手段，教师一方面可以通过自己举例让学生突破理解障碍，另一方面也可以让学生举例从而获得相应的反馈。举例过程中，对正例反例应适当兼顾，而不能一味地只举正例；在正反例的认知冲突中，适时地引导学生讨论，分别表达自己对现象背后原因的思考，在相互启发中加深对概念的理解。