HPM视角下的初中数学教学

王亚美

【摘要】 勾股定理是平面几何定理中的重要定理之一，也是中学数学教学过程中重要的一部分，它不仅是对直角三角形性质的拓展，而且为后面学习解直角三角形奠定了基础，是把几何问题转化为代数问题的典范，而本文主要是探讨了HPM视角下的勾股定理的教学设计，主要从勾股定理产生的背景，勾股定理证明过程中数学史的插入，以及从古至今，勾股定理的应用等几个方面详细阐述了数学史对于数学学习产生的影响和意义。

【关键词】 数学史 勾股定理 教学设计

【中图分类号】 G633.6

【文献标识码】 A

【文章编号】 1992-7711（2020）01-067-010

HPM视角下数学教学设计的主要依据之一就是发生教学法，利用发生教学法，让所学的知识和相关的数学史联系起来，促进学生学习数学的兴趣，并提高学生理解学习的能力。数学史融入教学课堂对于学习数学具有重大的意义，数学史融入课堂分为显性融入和隐形融入，显性融入是指选用与本节课相关的数学史内容，直接引入课堂，在课堂教学过程中进行运用，例如本文所探讨的勾股定理这节，就是明显的显性融入，隐性融入是指根据历史对数学教学过程进行重新的加工和重构，使数学史融入数学课堂中。

1.勾股定理的发现与提出

勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初中数学中的一个重要定理，在讲授勾股定理这节课的时候，如果可以适当引入勾股定理的来源，以及与其相关的历史，对学生的学习会有很大的帮助。

勾股定理又被称作毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理等，相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家的用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系，如图所示，在这里，可以让同学们考虑下正方形A、B、C之间的关系，这样引入课堂会点燃学生学习的激情，会取得事半功倍的效果。很容易的发现正方形C的面积等于A的面积加B的面积，假设A的边长为a，B的边长是b，C的边长是c，则发现的面积关系可以表示为a2+b2=c2.那么这是一种偶然的特殊情况还是公理呢？下面就让同学们自己再画几组这样的图形，验证一下这个结论的正确性。

2.勾股定理的证明

勾股定理是我们初等几何中最重要的定理，是数形结合的重要典范，而且这个定理也有悠久的历史，勾股定理在实际生活当中应用也十分广泛，是数学史发展中的一大亮点，所以，两千多年来，很多数学家对勾股定理的证明都很感兴趣，上至皇帝，下至平民，都证明过勾股定理，而勾股定理常用的证明方法就有相似三角形法、面积法、邹元志法、赵爽证法、美国总统切菲尔德证法、梅文鼎证法等，这些证法都各有优点，这既体现了数学是一门发散性思维的学科，更体现了数学文化的博大精深。因为勾股定理的证法太多，在这里，我就不一一介绍说明，在本文中，我重点通过赵爽证明法来阐释数学史对中学数学的影响。

赵爽是我国三国时代的吴国人，他主要是通过创制一副“勾股圆方图”，对勾股定理进行证明的，在这幅图画中，赵爽用四个全等的直角三角形围成了一个大的正方形，而图形中间部分是一个小的正方形，在这个图形中，我们可以设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边我们可以设为是c。而这个图形是怎么得来的呢？其实他的思路很清晰，也很容易理解，他是先构造一个由边长为a，b的两个正方形组成的图形。

然后再在边长为b的正方形上作一个直角边分别为a和b的直角三角形，并且令这个直角三角形的斜边为c，并连接一下，这样就很明显的看到形成了左右两个直角三角形，并且很容易知道这两个三角形是全等三角形，把这两个三角形移动到图（2）所示的位置，这就形成了一个边长为C的正方形，很容易的知道，这个正方形的面积是c2，而这个图形是由两个正方形变化而来的，所以总面积不变，总面积又等于a2+b2，所以a2+b2=c2。

通过推理，证明了勾股定理的正确性，“勾股圆方图”表现了我国人民对数学的钻研的精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，所以，这个图案也在2002年，被選为在北京召开的国际数学家大会的会徽。在课堂之余，把这些看似额外的东西告诉同学们，不仅会增强他们学习数学的兴趣，而且会培养他们爱国主义情怀，除了这个证明方法外，还可以让同学们课下搜索一下欧几里德证法、切菲尔德证法等等，这样既可以培养学生爱学习的能力，还可以提高他们的数学素养，而且有助于开放智力，开拓思维。

3.小结

本文只是通过中学数学中很小的一部分来介绍数学史与中学数学之间的联系和影响，实际上数学史在中学数学中的应用非常广泛，数学史对人类文明的进步有很大的影响，而数学史引入中学数学，对中学数学的影响也很大，首先可以通过数学史，获取数学知识，例如本文中所讲的勾股定理以及勾股定理的证明就是直接从数学史中获得的，所以数学史是我们获取数学知识的好途径。然后在课堂中引入数学史不仅有利于培养学生的爱国情操，还有利于提高学生的学习兴趣，增加数学的趣味性。最后，学习数学史最重要的是对学生数学思想的形成也有帮助，数学思想方法是的灵魂，只有形成掌握了思想方法，才可以提高数学成绩，这对与中学学生来说，也是最实用和有意义的。

[ 参  考  文  献 ]

[1]汪晓勤：HPM视角下数学教学设计：以椭圆为例[J].数学教育学报，2011，20（5）;20-23.

[2]张永风：HPM视角下对傅立叶级数的教学设计[J].大学数学，2012，28（6）：128-133.

[5]齐黎明：勾股定理的教学设计与反思[J].中学数学，2011（4）;7-9.