让学生在数学实验活动中学习数学

吴永皓

摘 要：本文尝试依托教材资源，设计有关椭圆定义的数学实验，以数学实验这种教学方式和学习方式来辅助传统教学，让学生在数学实验活动中学习数学，提升数学学科素养。

关键词：数学实验;制作实验模型;操作实验;信息技术

数学实验是新课程标准的一大亮点，是教育教学的重要模式，是数学教学的一部分，是辅助数学教学的。数学实验为学生开拓了一种全新的“做中学”、“学中做”的学习方式，能帮助学生建立直观模型，亲历数学建构，帮助学生获得数学的体验和经验。通过数学实验培养学生创造能力和科学研究意识，提高数学素养。依托《普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-1）》第二章圆锥曲线教材中资源，设计有关椭圆定义的数学实验，让学生在实验活动中学习数学。

一、以章头图、引言提供的方法，通过亲手制作实验模型或操作实验，直观想象，理解圆锥曲线

本章章头图简洁、明了，引言以言简意赅的文字说明，简略地指出了圆锥曲线的形成过程，圆锥曲线的由来和几何特征，以及广泛应用，其内涵是何等地丰富。为便于学生理解，提前安排学生以学习小组为单位，用生活中的实物材料为实验工具，以章头图、引言提供的方法进行设计实验，交流展示。

学生选用实验材料丰富多样，圆锥的实物：手电筒打出的光束、一次性纸杯、化学实验室的玻璃漏斗、胡萝卜（近似）、用土豆自制圆锥等;平面实物：平展的纸张、装在容器中的液面、胡萝卜的切口面等。学生的实验展示非常精彩，尤其是以胡萝卜和用土豆自制圆锥的小组，只要在切口面涂上颜料，像盖章一样就在纸上印下了几种圆锥曲线的轮廓线，简单易行。通过实验学生对圆锥曲线概念有一个感性的认识。

下面以手电筒和平展的纸为实验工具设计实验示范案例：

（1）实验设计：从手电筒打出的光束是呈圆锥形的，当光束照射到墙面上时，光斑的边缘就形成了一条曲线，画出手电筒光束边缘形成的曲线。

（2）实验目的：在平面截圆锥面的情境中，获得自身体会，使得学生对圆锥曲线概念有一个感性的认识，由此引出圆锥曲线的概念。

（3）实验工具：手电筒、四张平展的白纸。

（4）实验过程：

①在一张平展纸上画出直角坐标系，并把它贴到墙面上。

②用手电筒光束垂直照向墙面，调整手电筒使光束在纸上形成一个圆，并使光束的中心在原点，然后保持手电筒不动，描出光斑的边缘，测量出半径，写出圆方程。

③在另一张平展纸上画出直角坐标系，并把它贴到墙面上。改变手电筒与墙面的夹角，使得光斑形成一个椭圆，并使得对称轴位于竖直方向，中心在原点，然后保持手电筒不动，描出椭圆的形状;测量出长轴，短轴的长，写出它的方程（写椭圆方程可在内容学完后再做）。

④用类似上述的方法，探索还能得到其他哪些曲线。

（5）观察和解释：

手电筒发出的光束形状可以近似看成一个圆锥，设圆锥的母线与轴线的夹角为A，纸面与轴线的夹角为B。

当B=90o时，（即手电筒垂直与纸面时），光束在纸上形成一个圆。

改变纸面与圆锥轴线的夹角，当B=A时（即手电筒与圆锥的母线纸面平行时），光斑形成的图形形状是抛物线。

当手电筒既不与纸面垂直，纸面又不与圆锥的母线平行时，B>A时，光斑形成的图形是椭圆;B

二、以教材的探究栏目，动手操作绘制图形，观察椭圆的图形形状，抽象概括椭圆定义，深刻理解椭圆约束条件

（1）实验设计：取一根细绳，把它的两端用一枚图钉固定在纸板的同一点处，套上铅笔，移动笔尖，作出相应的图形;在纸板上钉两枚图钉，系上一条细线，尝试不同的长度作出的不同的图形，观察它们的共同点和不同点，得出一般性结论。

（2）实验目的：观察由定义得到的图形形状;对椭圆的定义有深刻的理解，更好的领会其约束条件：到两定点的距离和大于两定点的距离;培养对实验的观察能力。

（3）实验工具：纸板一块，图钉3个，细线绳两根。

（4）实验过程：①先钉上一枚图钉，系上一条细线，另一端套上铅笔画图，就形成到定点的距离等于定长的点的轨迹，即为圆。问题提出：到两个定点的距离的和为定长的点的轨迹是怎样的图形呢？②钉上两枚图钉，系上一条细线，调整细线的长度，分别对细线长等于两枚图钉之间的距离和大于两枚图钉之间的距离画图。

（5）现象与解释：当细线长等于两枚图钉之间的距离，轨迹是线段;当细线长大于两枚图钉之间的距离，轨迹是椭圆;当细线长小于两枚图钉之间的距离，轨迹不存在。

三、利用物理实验仪器——凹面镜产生的平行光线，对圆面投影实验，经历圆压缩变换成椭圆的过程，探究可能的结果，并验证例题结论

教材P41例2在圆x2+y2=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？

这是一道由圆到椭圆的压缩变换的例题，设计下列实验模拟：

（1）實验设计：用凹面镜产生的平行光线对硬纸板制作的垂直照向墙面，把圆面旋转，观察在墙面的投影结果。

（2）实验目的：通过投影的情境，经历变换过程，对压缩变换的感性认识，分析产生每种实验结果满足的条件，验证例题结论。

（3）实验工具：凹面镜、电源、灯泡、硬纸板制作的圆（半径为2个单位）、量角器。

（4）实验过程：①接电源，调整发光的灯泡放在凹面镜的焦点处形成平行光线，平行光线和墙面垂直。

②把硬纸板制作的圆面置于墙面和凹面镜之间，旋转圆面，观察墙面上的投影变化，有哪些不同的结果？

（5）现象探究：设圆面和墙面所成的角为A.

①当A为多少度时，投影是圆？（A=0o）

②当A为多少度时，投影是椭圆？（A≠0o）;

当A为多少度时是上例题中的椭圆？（A=60o）

③当A为多少度时，投影是线段？（A=90o）;线段长是多少？（圆的直径）

四、折纸实验，猜想实验结论，用椭圆定义验证，把实验结论数学化

（1）实验设计：在圆形纸片内部设置一个不同于圆心的一点，折叠纸片，使圆周的边界上有一点与该点重合，重复这个过程，形成一系列折叠，它们整体地勾画出一条曲线的轮廓。

（2）实验目的：会用椭圆定义来解释实验的现象，加深对椭圆定义的深刻理解，激发学生对数学的兴趣，培养数学应用能力和论证能力。

（3）现象与解释：经过观察，可以猜想众多折痕围出的图形是椭圆。

（4）证明：∵M，O关于直线AB对称，PO=PM，

∴PC+PO=PC+PM=R（R为圆的半径），即平面内与两定点C，O的距离和等于常数（大于∣CO∣）的点的轨迹是椭圆。

这就表明众多的折痕围成的轮廓（直线的包络）构成了椭圆。

五、用几何画板软件画椭圆，计算机模拟实验

在P50的信息技术应用栏目中，引导学生借助几何画板软件来画椭圆，结合教材有关内容，用几何画板画椭圆。

具体的操作步骤如下：

1.打开几何画板，使用“点工具”画任意一点F，使用“线工具”画直线L（点F不在L上）。过点F作一条直线，在直线上取一点P;

2.选中点F、P执行“度量”——“距离”命令，度量FP的长度;选中点F和度量的FP的长度，执行“构造”——“以圆心和半径绘圆”构造以点F为圆心，FP为半径的圆。新建参数e=0.8（可改为其他小于1的正数），计算FP/e的值;

3.过点P作直线L的垂线，交直线L与点M;以M为圆心，FP/e的值为半径作圆，交垂线于N点，过N作直线L的平行线，交圆F于A、B两点;

4.选中A、B两点，执行“显示”——“追踪交点”命令，鼠标选中点P并拖动点P在直线PF上任意移动可得椭圆方程，也就得到了椭圆。

再以椭圆的参数方程（选讲4-5）P27为例画椭圆

利用椭圆参数方程画椭圆的具体步骤如下：

1.执行“绘图”——“定义坐标系”命令，显示坐标系。执行“绘图”——“隐藏网格”命令，把网格隐藏起来。

2.选择“圆工具”，以原点O为圆心绘制两个同心圆。

3.选择“点工具”，在大圆的圆周上任取一点A，同时选中原点O和点A，执行“构造”——“直线”命令，构造直线OA。

4.利用“点工具”绘制出直线OA和小圆的交点B，同时选中点A和x轴，执行“构造”——“垂线”命令，作出过点A和x轴垂直的直线l。

5.同时选中点B和直线l，执行“构造”——“垂线”命令，作出过点B和直线l垂直的直线k，利用“点工具”绘制出直线l和直线k的交点C。

6.依次选中点C和点A，执行“构造”——“轨迹”命令，就可以构造出椭圆了，隐藏不必要的对象，也就得到了椭圆。

还可以让学生探究画椭圆的其他方法，如椭圆的第一定义P38、椭圆的第二定义P47例6（P50信息技术应用栏目）、伸缩圆P41例2、斜率之积P41例3、包络P49習题7、内切圆P50习题2、等比格点P50习题4。信息技术与数学内容有机整合，创设与教学内容相适应的情境，为学生的学习提供有力的工具，便于学生探索，发现数学本质。

数学实验虽然不是严密的论证，但是数学实验可以改变传统的教学方式，使数学探究活动变得丰富多彩，方法灵活多样;数学实验也改变了学生学习方式，给学生提供了更多的动手实践机会，学生以研究者的身份“做数学”，培养学生创新意识和研究能力，提高了学生的核心素养。