基于感度分布均值的火工品发火可靠性小样本评估方法

程立， 董海平， 穆慧娜， 温玉全， 张浩宇， 汪靖程

(北京理工大学 爆炸科学与技术国家重点实验室， 北京 100081)

0 引言

火工品是一种含能元器件，每个火工品均存在一个临界刺激量。当外界施加的刺激量超过临界刺激量时火工品发火；否则不发火。通常将某刺激量处的发火概率称为该刺激量处的发火可靠度。火工品是各种武器弹药的首发元件，发火可靠性指标很高。目前，国内外科研工作者建立起了多种火工品发火可靠性评估方法，如计数法、计量法和计量- 计数综合法等。

计数法又称为非参数化方法，是在某刺激量处进行发火试验并且记录试验结果，然后根据二项分布或超几何分布模型来评估火工品发火可靠性。计数法简单、直观，但是试验样本量大，试验成本高、试验周期长。计量法又称为参数化方法，它先利用感度试验数据来估计感度分布参数(均值和标准差)，然后基于火工品的感度分布特性推断火工品在某刺激量处的发火可靠性。计量法与计数法相比，由于利用了火工品感度分布特性，能极大地降低样本量，一般利用几十发的样本进行试验就可以推断火工品可靠度为0.999的发火可靠性指标。相对计数法所需的大样本量，计量法也被称为小样本方法。目前常用的计量法有升降法[1-2]、兰利法[3]、OSTR法[4-5]、Wu[6]方法、D-最优化法[7]和三步优化设计法[8-9]等。这些计量法在进行火工品发火可靠性的推断过程中，都需要根据感度试验估计感度分布参数。但是，标准差估计通常都是有偏的[10]，而且计量法对发火可靠性推断结果缺乏验证。

为了克服计数法和计量法的缺点，学者们开展了计量- 计数综合评估方法的研究，试图在小样本的条件下提高火工品发火可靠性评估结果的精度。田玉斌等[10]、蔡瑞娇等[11]、董海平等[12]开展了大量关于计量- 计数综合评估方法[13]的理论和试验研究。他们首先利用升降法估计感度分布参数，并应用纠偏系数[14]或Bootstrap方法[15]对标准差进行纠偏，然后基于信息量等值原理计算某低刺激量，接着在该低刺激量处进行少量样本的计数发火试验，最后根据计数试验结果评估工作刺激量处的发火可靠性。与计量法相比，计量- 计数综合评估方法在样本量稍许增加的情况下提高了火工品可靠性的评估精度。

但是计量- 计数综合评估方法仍需要依赖感度分布模型参数的估计值。统计理论认为，计量感度试验方法对均值的估计是无偏的，但是对标准差的估计是有偏的。即使对标准差的估计进行了纠偏，也无法保证完全消除了标准差的估计偏差对火工品发火可靠性评估结果的影响。

为了完全消除标准差的估计偏差对火工品发火可靠性评估结果的影响，本文基于应力- 强度干涉理论，提出一种基于感度分布均值的火工品小样本发火可靠性评估方法。该方法只依赖火工品感度分布的均值估计，就可以在置信水平不变前提下，通过在低刺激量处进行少量的计数试验，来评估火工品在工作刺激量处的发火可靠性。

1 基于感度分布均值的火工品小样本可靠性评估原理

1.1 火工品发火的应力- 强度干涉模型

在进行火工品发火试验时，输入刺激量通常被认为是一个确定的值，然而实际上它会有一个不可控的小的变化。例如机械火工品受到撞击作用起爆，虽然设计的撞击力是个定值，但是由于设备、环境、材料以及人为因素等影响而造成每一次撞击的力度都不同；再如电火工品受电激励起爆，由于电源输出在设计时本身存在不稳定性，且随着环境和存储时间的变化，输出电压或电流也会发生波动。因此，在某个标称值条件下的外界刺激量实际上是会波动的，即具有随机性，输入刺激量可视为随机变量。火工品的临界刺激量是它的固有属性，即使对于同一型号同一批次的火工品，也会因药剂颗粒度、敏感杂质、装配工艺等原因[16]而具有一定的随机性。因此临界刺激量是随机变量，在火工品行业，临界刺激量的分布称为感度分布。针对这种外界刺激(应力)与火工品本身的固有属性(强度)之间的作用过程，可以采用应力- 强度干涉模型[17]来描述。

分别建立外界输入刺激量和临界刺激量的分布，然后利用应力- 强度干涉模型来研究火工品的发火可靠性[18]。设X为输入刺激量，相应的概率密度函数为f(x)，Y为火工品的临界刺激量，相应的概率密度函数为f(y)，x、y均为刺激量；当X>Y时火工品发火，否则不发火。火工品发火的应力- 强度干涉模型如图1所示。图1中，μY为火工品感度分布均值，μX2为刺激量X2的分布均值，μX1为刺激量X1的分布均值。

图1 火工品发火应力- 强度干涉模型Fig.1 Stress-strain interference model of explosive initiator

1.2 基于感度分布均值的火工品小样本可靠性评估方法

火工品常见的感度分布有正态分布、对数正态分布、逻辑斯谛分布和对数逻辑斯谛分布等。通常可把对数正态分布和对数逻辑斯谛分布分别转化成正态分布和逻辑斯谛分布来处理。因此，火工品的感度分布可归纳为F(x；μ,σ)=G((x-μ)/σ)[19]，其中F是火工品在刺激量x处的发火可靠度，μ是感度分布均值，σ是感度分布标准差，G是分布类型。

对于随机变量Z，当μZ不变时，发火可靠度R随σZ增加而单调下降。因此，当σZ取上限值σU,Z时，对应的发火可靠度为下限值，即

(1)

用计量- 计数综合评估方法进行可靠性评估时，先用计量法将刺激量X1处的可靠性指标RL,1转化为刺激量X2处的低可靠性指标RL,2，然后根据计数法在X2处在相同置信水平下进行一定量的发火试验来验证火工品可靠性是否达到RL,2，从而验证火工品是否满足可靠性指标RL,1.

设工作刺激量x1是刺激量X1的观测值，低刺激量x2是刺激量X2的观测值。假设火工品发火可靠性指标为：在工作刺激量x1处置信水平为γ时的可靠度下限为RL，1.根据计量法，由(1)式得刺激量为X1、X2时的发火可靠度下限分别为

(2)

(3)

验证试验时，在相同置信水平下，在低刺激量x2处进行n2发试验，失效数记为f2.根据经典可靠性评估方法(计数法)，有

(4)

当无失效即f2=0时，

(5)

(2)式中可靠性指标RL，1是已知的，(3)式中低可靠性指标RL，2是给定的，μZ1、σU,Z1和σU,Z2可以通过感度试验获得。

火工品可靠性验证试验中，一般要求零失效。将RL，2、σU,Z代入(3)式和(5)式即可得到刺激量μZ2对应的试验样本量n2. 但是由于σU,Z是估计值，是有偏的，即使采用一些方法进行了纠偏，也无法保证完全消除了偏差对计算结果的影响。

为了获得更精确的计算结果，消除标准差估计值偏差对可靠性评估结果的影响，将(2)式和(3)式取反函数并结合(5)式，得

(6)

从而可以得到可靠性验证试验时在给定低刺激量x2下对应的样本量n2为

(7)

当(7)式中的分布采用正态分布时，正态分布函数为F(x；μ,σ)=Φ((x-μ)/σ)，其反函数用Φ-1(·)表示，(7)式可写为

(8)

当(7)式中的分布采用逻辑斯谛分布时，逻辑斯谛分布函数为

(9)

其反函数有显式形式，(7)式可写为

(10)

对于火工品可靠性评估，一般都要求无失效；如果允许失效，给出失效数f2，用(4)式代替(5)式，同样可以得到刺激量和试验样本量之间的函数关系。

2 应用实例和大样本对比验证

为了验证本文提出的火工品小样本可靠性评估方法的合理性，选择常用的两类火工品即机械激发火工品和电激发火工品进行大、小样本对比试验。首先采用升降法试验获得感度分布均值，其次根据本文所提基于感度分布均值的小样本可靠性评估方法确定验证试验的刺激量及对应的试验样本量，然后进行小样本发火试验，获得可靠性评估结果。接着进行大样本步进法试验，检验感度分布模型并估计感度参数，得到最小全发火刺激量，获得大样本可靠性评估结果。最后将大、小样本试验的可靠性评估结果进行对比，验证小样本方法的合理性。

2.1 针刺雷管大小样本对比试验

某型针刺雷管的可靠性指标为γ=0.90、R≥0.999，发火能量为球质量7 g、落高8 cm.

根据国家军用标准GJB 6478—2008火工品可靠性计量- 计数综合评估方法[20]，针刺雷管属于机械激发类火工品，其感度一般服从对数正态分布。对该针刺雷管进行一组升降法试验，样本量为50发，试验数据如表1所示。

表1 某型针刺雷管升降法试验数据

利用极大似然估计原理对表1中针刺雷管的升降法数据进行处理，求出均值参数估计值(对数值)为=0.795. 按文献[21]的要求，火工品验证试验样本量在置信水平0.90时不应少于45发，机械类火工品散差比较大，验证试验样本量不应过少，因此用样本量n2=90的针刺雷管进行发火试验。通过(8)式计算出低刺激量x2，如果全发火则证明该针刺雷管满足可靠性指标。试验中取刺激量灵敏度δ为0.02 cm，则有δ/exp (μX)<1%，因此可以忽略刺激量分布模型的影响，即有lnx1≈μX1，lnx2≈μX2. (8)式中，RL,1=0.999，γ=0.90，n2=90，μX1=ln8，μY=0.795，则可计算出μX2=1.607 8，从而可以得到低刺激量x2=exp(μX2)=4.99 cm. 取90发样品在4.99 cm处进行了发火试验，全部发火，判定落锤的落高为8 cm时该针刺雷管发火可靠性达到置信度γ=0.90、可靠度R≥0.999的指标。

为了验证小样本方法的合理性，进行大样本步进法试验，调节落锤高度作为刺激量，试验数据如表2所示。

表2 某型针刺雷管步进法感度试验结果

从表2中可见，刺激量大于8个，发火率满足0=r1

表3 某型针刺雷管χ2检验结果

利用表2中的数据，采用极大似然原理对感度分布的参数进行估计，得到极限百分位点的区间估计xU,0.999=5.13 cm.发火工况8 cm>5.13 cm，由此可以判定落锤的落高为8 cm时该针刺雷管发火可靠性达到置信度γ=0.90、可靠度R≥0.999的指标。

2.2 电点火头大小样本对比试验

某电点火头的可靠性指标为γ=0.90、R≥0.999，发火刺激量60 V.

根据国家军用标准GJB6478—2008火工品可靠性计量- 计数综合评估方法，电点火头感度一般服从逻辑斯谛分布。对电点火头进行升降法试验，样本量为50发，试验数据如表4所示。

表4 某电点火头升降法试验数据

利用极大似然估计原理对表4中电点火头的升降法数据进行处理，求出均值参数估计值=36.93V.

根据文献[21]，火工品验证试验样本量在置信水平0.90时不应少于45发，电火工品一致性好、散差小，因此用样本量n2=45的电点火头进行发火试验。通过(10)式计算出低刺激量x2，如果全发火则证明该电点火头满足可靠性指标。试验中，刺激量灵敏度δ为0.1 V，则有δ/μX<1%，因此可以忽略刺激量的分布模型，即有x1≈μX1，x2≈μX2.(10)式中，RL,1=0.999，γ=0.90，n2=45，μX1=60 V，μY=36.93 V，则可计算出μX2=46.78 V，则低刺激量x2=46.8 V. 取45发样品在46.8 V处进行发火试验，结果是全部发火，由此可以判定发火刺激量为60 V时该电点火头发火可靠性达到了置信度γ=0.90、可靠度R≥0.999的指标。

为了验证小样本方法的合理性，进行大样本步进法试验，调节电压作为刺激量，试验数据如表5所示。

表5 某电点火头步进法试验数据统计

从表5中可见，刺激量大于8个，发火率满足r1

根据国家军用标准GJB/Z 377A—94感度试验用数理统计方法，利用χ2检验确定该型电点火头感度分布类型，检验结果如表6所示。从表6中可知，4种火工品常见分布假设都不能通过χ2检验。根据GJB 6478—2008火工品可靠性计量- 计数综合评估方法，如果火工品有多种感度分布模型通过χ2检验或者4种分布模型都没有通过χ2检验，则选择χ2值最小的分布作为该火工品最接近的感度分布模型。表6中逻辑斯谛分布假设计算得到的χ2最小，因此可认为该电点火头的感度最接近服从逻辑斯谛分布。

表6 电点火头χ2检验结果

利用表5中的数据，采用极大似然原理对感度分布的参数进行估计，得到极限百分位点区间估计的置信上限为U,0.999=49.66 V. 发火工况60 V>49.66 V，由此可以判定发火刺激量为60 V时该电点火头发火可靠性达到了置信度γ=0.90、可靠度R≥0.999的指标。

上面两个实例中，本文提出的小样本方法采用了更少的试验样本量并且与大样本步进法的可靠性评估结果一致，都验证了文中针刺雷管和电点火头满足可靠性指标，表明本文提出的小样本评估方法是可行的、合理的。

3 结论

本文在计量- 计数综合评估方法的基础上，结合应力- 强度干涉模型，提出了基于感度分布均值的火工品小样本可靠性评估方法。该方法与计量法或计量- 计数综合评估方法相比，不依赖火工品感度分布的标准差，不需要对刻度参数进行纠偏，仅利用感度分布均值就可进行可靠性评估，操作更简单，试验样本量少。对于机械类火工品，最少仅需140发样本量就能对0.999(置信水平0.90)的可靠性指标进行评估；对于电火工品，最少仅需95发样本量就能对0.999(置信水平0.90)的可靠性指标进行评估。