基于模拟退火算法的水资源规划问题

翟庭钰　曾钰洁　王森正

摘 要：中国是目前世界上国土面积靠前的国家之一，而地势的不均衡故而导致了我们国家的水资源不均匀。东部沿海城市不缺水源，然而在中国的西南片区，由于身居内陆，降水不足，使人民的生活质量大幅度降低，故采用合适的方法解决西南地区的水资源不足的问题是我们国家当前的重要问题。参考《抗旱方案制定》数学建模题目，建立随机因子选择模型，为问题的求解提供一种新的解决思路。

关键词：随机因子选择;模拟退火;高斯逼近;遍历迭代

中图分类号：TB 文献标识码：Adoi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2020.03.091

1 問题分析

通过计算，只打井或者铺设管道均无法满足村庄5年内的用数量需求，所以我们对问题进行了简化并且确定了限制条件，采取既进行打井又铺设管道的方案。根据题目要求，村庄只有前三年每年能够得到60万的补助，而管道从开工的完成总共需要三年的时间，所以为了尽快获得管道输水，管道的建设要从第一年开始建设才能够降低成本。

同时，由于管道建设长度总长度不变为L=20km，则可以把修管道所投入的钱看作定值P=13.2Q0.51，根据每年村庄所得拨款为60万元，所以前三年打井所花费的钱共计应小于（180-P）万元，最后两年则只需要使5年总费用小于180万元即可，故我们根据以上条件建立了多因子回归迭代分析模型。

2 添加约束条件

我们着手问题本身，首先对问题要求进行简化并确定限制条件，题中要求5年总成本最小且均满足村庄的需求，并且要前三年将输水管道修好，管道的长度为20公里，所以我们可以认为，三年内修管道的钱将会是一个定值：

P=0.66Q0.51×20（1）

其中Q为管道输水量，P为打管道所需的费用。

通过对题目的分析以及上述模型的准备，我们在考虑修水井问题的时候可以暂且抛开管道费用问题，只需要确定最优的打井方案，并保证五年总金额小于180万元，且保证前三年内打井费用均小于60万元，剩余的钱用来维修管道即可。我们可以将模型简化为只需考虑打井费用的问题。

我们首先对4口井未来5年产水量情况进行一个预测，即对未来几年的产水量进行函数拟合，接着，我们对问题的模型进行了简化并确定了相关约束条件，我们在每年修管道的钱得以保证的前提下，对村庄的打井费用进行一定的投资。

既要满足费用限制又要满足村庄用水需求，故根据这个条件我们建立了管道—水井—钱数的多因子回归迭代分析模型。

根据上述方程组，我们决定模拟退火算法的思想为基础。我们将每年打井的位置以随机数的方式生成，直到满足当年村庄用水需求后。若已有的水井产水量无法满足村庄下一年用水需求，则继续随机打井，直到满足条件。当三年后管道完成以后，限制条件则变为了水井产水量与管道输水量总和。

将此种随机数产生5年打井顺序以及数量的方法通过迭代方式来取得最优解，并且让管道容量从100到200范围内递增来计算全局最优解，由于所有打井方法总共约为4万多种，所以随机数迭代1亿次已基本排除无法得到全局最优解的情况。根据题目中所给的可以打的8个井的数据，故我们利用Java编程语言进行模型求解，根据上述的条件约束，利写出了Java求解过程的程序算法。

通过计算可以得到全局最优结果为第一年打井为1、2、4、6、7号井，第二年打第3号井，后三年不打井，同时管道的设计容量为100万吨，此时全局最优解为169.22，由于保证投入费用为整数，则投入应当为170万元，前三年打井费用总和小于（180-P），则此时为最优方案。

综上所述，最优方案为：第一年打1号、2号、4号、6号、7号井，费用为26万元，第二年打3号井，费用为5万元，后三年均不打井，此时可得管道设计容量为100万吨，前两年打井总费用为31万元，维修管道费用138.22万元，在前三年拨款180万的情况下完全符合费用的限制要求，求出的最优解为169.221，所以共需要投入170万元。

4 结语

本题以模拟退火的思想为切入点，通过回归迭代的方法，将复杂的水资源分配问题简化成了多因子遍历的问题。在很多方面，诸如资源分配等均可以采用多因子回归迭代分析模型。另外，我们探究的打井与铺设管道的水资源问题所采用的方法，还可以广泛运用于其他设计中，例如车辆调度或者外界对该模型产生某种影响的产品设计能够起到很好的举一反三作用。

参考文献

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