“相交线与平行线”错解剖析

严正

“相交线与平行线”是我们初步接触几何知识的章节，除学习相关知识之外，还要学习一些方法，比如：如何理解定义和定理，如何应用定义和定理解决问题等.这种从知识到方法的过渡，既需要我们进行实践练习，还需要适当适.时进行总结提炼.

我们要理解如何应用相交线与平行线的知识去解决问题，体会相交线中“三线八角”和平行线在解决与角有关的问题中所起到的作用.结合例题，我们分析如何添加辅助线，在操作的基础上，提升我们对相交线与平行线的认识.

一、思维定式

例1已知直线a⊥b，b⊥c，则直线a与c的位置关系是什么？

错解：a⊥c.

剖析：本题是一道很简单的题目，但失分的同学却很多，主要是受“若a=b，b=c，则a=c”的影响，很容易得出错误答案.其实只要我们画一下图很快就能得到正确的答案（如图1）.

正解：a∥c.

点评：一定要注意克服思维定式，

二、考虑不周

例2 已知直线a//b //c，直线a与b之间的距离为2 cm，直线b与c之间的距离为3 cm，则直线a与c之间的距离为多少？

错解：5 cm.

剖析：本题主要利用平行线之间的距离的定义作答.要分类讨论：①当直线b在直线a，c之间时;②当直线a在直线b，c之间时，

正解：①如图2，当直线6在直线a，c之间时，直线a与c之间的距离为2+3=5（cm）.

②如图3，当直线a在直线b，c之间时，直线a与c之间的距离为3-2=1（cm）.

故答案是5 cm或1 cm.

点评：本题很简单，考查的是两平行线之间的距离的定义，即若两直线平行，则夹在两条平行线间的垂线段的长叫两平行线间的距离.在解题时若考虑不周易漏解.

三、概念不清

例3下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC的距离的是（  ）.

错解：选A.

剖析：根据点到直线的距离是指垂线段的长度，弄清点A到直线BC的垂线段即可解答.

正解：线段AD的长表示点A到直线BC的距离的是选项D.故选D.

点评：本题考查了点到直线的距离的定义，注意该距离是指垂线段的长度，

四、识图不准

例4如图4.有下列判断：①∠A与∠B是同旁内角;②∠1与∠A是同位角;③∠1与∠4是内错角;④∠l与∠3是同位角，其中正确的是____.（填序号）

错解：填“①③”.

剖析：准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键，是弄清哪两条直线被哪一条直线所截.也就是说，在辨别这些角之前，要弄清哪一条直线是截线，哪两条直线是被截线.

正解：∠A与∠B是同旁内角，①正确;

∠A与∠1是同位角，②正确;

∠4与∠1不是内错角，③错误;

∠1与∠3是内错角，不是同位角，④错误.

故答案为①②.

点评：本题主要考查了“三线八角”，在复杂的图形中识别同位角、内错角、同旁内角时，应当沿着角的边将图形补全，或者把多余的线暂时略去，找到“三线八角”的基本图形，进而确定角的位置关系.

五、主观臆断

例5 如图5，如果AB//EF，∠C=90°，那么α，β，γ的数量关系是____ .

错解：α+β+γ=180°.

剖析：不能想当然认为α+β+γ=180°.此题应过点C作CM//AB，延长CD交EF于点N，如图6，根据已有知识求出∠CNE=β-γ，根据平行线性质得出∠l=a，∠2=∠CNE.代人即可，

正解：过点C怍CM//AB，延长CD交EF于点N，则∠CDE+∠EDN= 180°，∠E+∠ CNE+∠EDN= 180°，所以∠CDE= ∠E+∠CNE，即∠CNE=β-γ.

∵CM//AB，AB//EF，

∴CM//AB//EF

∴ ∠ABC=α=∠1.∠2=∠CNE.

∵ ∠BCD=90°.

∴∠1+∠2=90°.

∴.α+β-γ=90°.

點评：本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理及邻补角知识的应用，题目比较好，难度适中，当然也可以像图7那样作CM//DG //AB，构造三对内错角，由平行线的性质易得α+β-γ=90°.两条直线平行，第三条直线与前两条直线相交，产生“三线八角”，由此才能够得出具有特殊位置关系的角之间所具有的数量关系：相等或互补.如果已知图形结构完整，那么可以直接应用.如果已知图形结构不完整，那么会出现两种情况：要么缺少平行线中的一条，要么缺少第三条直线.如果想应用平行线的性质去解决问题，就要补全图形，即添加辅助线，

数学是严谨的，学好数学要养成良好的习惯：言必有据、思考缜密、思路清晰.不可常犯概念不清、主观臆断、思维混乱的错误.

练一练

1.如图8.测量运动员的跳远成绩，选取的是线段AB的长度，其依据是（  ）.

A.两点确定一条直线

B.两点之间直线最短

C.两点之间线段最短

D.垂线段最短

参考答案：1.D