小议二次根式

田载今

一、二次根式的概念

用字母表示數是数学的一大进步，由此数学进入了用抽象符号代表具体数值进行研究的新阶段.例如，式子aⁿ可以表示各种乘方.随着式子中的字母取值的变化，它可表

因为开平方的运算应用很广泛.所以很多重要的公式都是二次根式的形式，例如两点间的距离公式.在平面直角坐标系中，任取两点A（m，n）与B（p，q），则这两点之间的距离

物体自由落下一定高度时，所用时间为t=√2h/g，在这个二次根式中，h是下落高度，g是一个常数（即重力加速度，约为9.8m/s2）.这个物理学中的重要公式的发现要归功于意大利科学家伽利略.1589年的一天，伽利略在比萨斜塔上，将两个质量相差很大的铁球，从同一高度同时放开.围观群众惊讶地发现，两球竟然同时落地.这个事实推翻了古希腊学者亚里士多德所作的“物体下落速度与其质量成正比，物体越重，物体下落得越快”的论断.伽利略用上述二次根式精确地揭示了自由落体定律：物体从高处下落所用的时间，与它的质量无关，只与高度有关，

加、减、乘、除、乘方和开方，统称为代数运算，用字母或数表示代数运算的式子，统称为代数式.整式、分式和根式都属于代数式，整式和分式中，不含字母的开方运算，字母只可进行加、减、乘（含乘方）、除四则运算;根式表示开方运算，其根号下可以含字母.因此整式、分式、根式合起来，就能完整地表示数与字母的全部代数运算了.

二、二次根式的性质

√a（a≥0）有两重含义：既表示对a进行开平方，并且取算术平方根的运算：又表示运算的结果，即a的算术平方根.这里的被开方式a≥0，开方后的算术平方根√a≥0，此即二次根式的非负性.

三、二次根式的运算

二次根式的加减运算，主要是合并同类二次根式（即根号内完全相同的根式，如√3ab与5√3ab）.为此通常先把参与运算的二次根式化简，发现同类二次根式后再合并.

例3 一个物体从4m高处自由下落着地，它下落过程中经过前1m和后3m所用的时间相同吗？为什么？

提示：从静止开始的自由落体运动规律为h= 1/2 gt2，其中h.t分别表示下落距离和下落所用时间，g为重力加速度（是一个常数）.

二次根式的乘除运算，类似于整式的乘除运算，两者的运算律与公式基本通用.运算中还常运用二次根式的性质，

例4 两圆的面积分别为S1与S2 （S1>S2），以两圆半径的平均值为半径作一新圆.

（1）求新圆的面积，并比较它与原来两圆面积的大小：

（2）求新圆与原来小圆面积之差，以及原来大圆与新圆面积之差：

（3）求（2）中两差之比.