基于数学文化的小学数学教学资源的设计与实施研究——以人教版“鸡兔同笼”内容为例

广东佛山科学技术学院 赵奔香 叶嘉慧 沈 达 赖颖妍 杨豫晖

《义务教育数学课程标准（2011 年版）》明确指出数学是人类文化中重要的组成部分，证实了数学文化存在的必要性。刘富森认为数学文化能培养学生的数学思维和创造能力，提升其审美水平和文化素养。现有研究表明在教学中融入数学文化资源有助于学生的学习和发展。

小学数学“鸡兔同笼”内容和解法都蕴含着丰富的数学文化资源。因此，本文以人教版小学数学“鸡兔同笼”内容为例，实施数学文化教学，以便为小学数学文化教学资源的设计与实施提供建议。

一、基于数学文化的小学数学教学资源的设计理念

（一）概念界定

1.数学文化

孙宏安提出数学文化是数学相关者在从事数学活动时的“内环境”，是人类适应数学活动的环境与创造数学活动自身及其成果的总和。杨豫晖对以上界定进行具体阐释。“内环境”为数学共同体在进行数学活动时的“精气神”；“活动”是数学共同体经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，以及进行文化创造的过程；“成果”为数学共同体所创造的文化成果，包括精神产品和物质产品。

在现有理论基础上，本文将数学文化界定为师生在数学探究的过程以及在活动中创造的文化产品的总和。其中，创造的产品包括领悟数学思想、数学精神等隐性产品，以及学生获得的新知识和作品等显性产品。

2.基于数学文化的小学数学教学资源

本文将基于数学文化的小学数学教学资源界定为能够实现数学文化价值的显性和隐性资源。其中，显性资源指可以直接使用的物化资源，如教学材料中的数学故事、数学名题等素材；隐性资源是指内隐的精神层面的资源，包括数学思想、方法、精神、美感等。

（二）基于数学文化的小学数学课堂教学资源的设计理念

1.借数学文化丰富课堂

以往的教学侧重于就事论事，导致学生无法学透和领悟知识的根本性，同时也缺乏深度的思考。课程状态的数学文化以思考型呈现，能够帮助学生深入理解内容的本质和价值。以小学数学“鸡兔同笼”内容为例，在教学中融入数学史料，使学生自发地思考、探究知识的本质和价值，从而解决了数学传统教学的不足，弥补了课堂缺少的数学文化元素，课堂也就自然而然地“富”起来了。

2.显学生主动学习激活课堂

数学文化课堂能激发学生的学习兴趣，发展学生的创新能力，学生能自主探索新知，成为学习的主人，在不知不觉之中激活课堂的学习氛围。如“鸡兔同笼”一课中，通过创设数学文化情境和问题探究过程，能引发学生积极思考、主动学习、发现新知以及表达内心深处的想法，真正融入课堂之中，体会数学的魅力。

3.引数学思想优化课堂

数学思想作为教学的隐性内容，是揭示知识本质的有力武器。教师引导学生对数学方法进一步提炼，上升至数学思想的高度，是优化课堂的关键。正如郑毓信所说：“通过数学学会思维，使其想得更清楚、更深入、更全面和更合理。”这也是数学文化教学资源设计理念的主旨，它为学生由数学的思维转向通过数学学会思维提供契机，反映课堂的优化历程。如在“鸡兔同笼”教学中，都能通过数学思想的渗透，促进学生学会思维，真正达到优化课堂的目的。

二、“鸡兔同笼”数学文化教学资源的设计

（一）“鸡兔同笼”数学文化教学资源的来源

1.主题图中数学文化的提炼

（1）显性素材。在《人教版义务教育数学教科书四年级下册》（以下简称《数学》）第九单元的103—105 页“鸡兔同笼”主题图中展示的题目可追溯至3—4 世纪的《孙子算经》。在教学中，由一道古代的数学名题引入，能吸引学生的注意力，且题目的设置充满了挑战性和趣味性，不知不觉地激发了学生的求知欲。

（2）隐性素材。对《数学》第九单元103—105 页“鸡兔同笼”主题图片的原题进行适当地改编、简化，渗透化繁为简和抽象化的数学思想。教师引导学生运用猜测法、列表法、画图法和假设法四种方法进行问题探究，渗透化繁为简、数形结合、优化和划归等数学思想、批判性思维，以及数学的简洁美、逻辑美、对称美。

2.练习题中数学文化的挖掘

（1）显性素材。在《数学》第九单元的106 页“做一做”中，从中国“鸡兔同笼”延伸出日本的“龟鹤算”问题，学生对知识的根源性得到了深知和深化。另外，引导学生对“鸡兔同笼”问题进行二度创造，引出“植树”问题，促进学生深入感悟知识的本质。

（2）隐性素材。在练习的过程中，学生进一步深刻地感受古人数学思想和数学思维的高度，逐步形成数学模型、一般化的思想。

3.拓展性材料中数学文化的提炼

（1）显性素材。在《数学》第九单元的106 页“阅读资料——你知道古人是怎样解决鸡兔同笼问题的吗？”中，引导学生感受古人新颖和奇特的解题思路。在《人教版义务教育数学教科书四年级下册教师教学用书》第九单元的234页中，挖掘清代诗人李汝杰在其著作《镜花缘》的第九十三回提出的问题，可以让学生感受其与“鸡兔同笼”有异曲同工之妙，促进知识的迁移。

（2）隐性素材。“阅读资料”中“抬脚法”属于对问题中的条件进行变形，把难题转化为已解决的问题，渗透了化归思想，促进学生思维的发展，体现智育和美育价值。《镜花缘》题目的出现主要是促进学生实现知识的迁移，理解解法的本质，如在求小灯球和大灯球数量时就采用了类似“抬脚法”的算法，从中渗透联系的思想，体现了数学文化的价值。

（二）“鸡兔同笼”数学文化教学资源的组织

首先，本课例中四种方法的探究是以猜测法为起点，创设生活情境引导学生对不同职业的人所画的“鸡兔同笼”进行对比，从而引出数学中简化和抽象的思想，且讲述数学史的同时探究“鸡兔同笼”问题经久不衰的原因，以激发学生下一步学习的热情。其次，将教学的核心放在“鸡兔同笼”四种解法的探究方面，让学生在问题引领、独立思考、团队合作之中经历问题解决的过程，渗透智育和美育等价值。最后，在练习环节呈现习题和延展性材料中挖掘的数学文化素材，促进学生对知识本质的理解及对价值的感悟。

三、“鸡兔同笼”数学文化教学的实施

（一）创设情境，引入新课

问题1：上图是摄影师、学生和数学家所画的“鸡兔同笼”，你们对此想到了什么？

角度1：从复杂到简单的“鸡兔同笼”。

角度2：笼子用大圆圈表示，用小圆圈表示动物的头，用竖线表示动物的腿。

角度3：数学家，追求简单，抓住关键。

设计意图：体现数学文化的智育价值（隐性）。通过创设情境帮助学生理解数学家的思维，渗透简化和抽象的数学思想。

问题2： “鸡兔同笼”来源于1500 年前，是十分经典的问题。人教版、北师大版、苏教版都要学“鸡兔同笼”，它经久不衰，为什么？

角度1：可能有很多种算法来求解这个问题。 角度2：探寻一种有意义的且更简洁的算法。 角度3：帮助我们理解生活中这一类题的解题思路和方法。

设计意图：通过展示相关的数学史（显性），引导学生了解“鸡兔同笼”问题的历史渊源和经久不衰的原因，以激发学生学习的兴趣，为下一环节的探究奠定基础。

（二）化繁为简，探究新知

问题3：笼子里有若干只鸡和兔。从上面数，有35 个头；从下面数，有94 只脚。鸡兔各有多少只？同学们可以先猜一猜有几只鸡和兔？

（学生大胆猜测）

追问：看来数字大了很难猜。如果化为“8个头，15条腿”呢？（学生探究，最终化简为：8 个头，26 条腿。）

设计意图：体现数学文化的智育价值（隐性）。学生在探究的过程中结合“鸡有2 条腿，兔有4 条腿”的常识合理猜测、化简，感受化繁为简的数学思想。

问题4：同学们，能不能有依据地猜？

（教师引导，学生探究，有依据地猜，得出：5 只兔子、3只鸡。）

问题5：大家用列表法试一试，从中可以发现什么规律？

角度1：

?

已找到符合题目要求的答案，没必要往后列举。

角度2：每增加1 只兔，脚的只数就增加2 只。当数据相差甚远时，可以每次增加2 只兔，那么脚就增加4 只，有利于迅速找到答案。

角度3：列举的目的是要满足2×（ ）+4×（ ）=26，思考括号中填哪个合适的整数即可。

（学生探究，得出：5 只兔，3 只鸡。）

问题6：画图法可以解决这个问题吗？如何用算式表达出来（假设法）？

角度1：全都画成鸡，算式为2×8=16（只），26-16=10（只），则兔有10÷2=5（只），鸡有8-5=3（只）。

角度2：全都画成兔，算式为4×8=32（只），32-26=6（只），则鸡有6÷2=3（只），兔有8-3=5（只）。

设计意图：体现数学文化的美育价值和智育价值（隐性）。在探究过程中，渗透了数学思想、思维等智育价值，其中画图法和列表法还渗透了简洁美、逻辑美等美育价值。

问题7：我们在解决这类问题时，都可以选择以上方法吗？

角度1：数据太大时，会给猜、画、列表带来麻烦。

角度2：结合数据的大小，选择自己喜欢的方法来解决问题。

设计意图：体现数学文化的智育价值（隐性）。通过4 种方法的对比，学生发现每种方法的优劣，学会选择合适的方法，渗透优化的思想，也对假设法有了更深的认识。

（三）拓展延伸，提升思维

问题8：大家读一读日本的“龟鹤算”和猎人与狗的句子，如果让你来编题，你会怎么编？

角度1：人和狗同屋、蜈蚣和龙虾同笼、狼和羊同笼等。角度2：不能把相同腿数的动物放在一起。

问题9：这是老师编的“植树”问题，总头数、总脚数、兔脚数和鸡脚数在哪？

（教师留下悬念，学生带着问题下课）

设计意图：展示“龟鹤算”和“植树”问题（显性），体现数学文化的智育价值（隐性）。引导学生将实际问题与“鸡兔同笼”问题建立起来，渗透联系的思想，并激发学生课后学习的兴趣。

四、基于数学文化的小学数学教学资源的设计与实施建议

（一）基于小学数学“鸡兔同笼”数学文化教学资源的设计与实施讨论

目前，针对小学“鸡兔同笼”数学文化教学资源的设计与实施的研究并不多，仅有的研究主要是理论层面的探讨，没有给予完整的操作性启示，使得数学文化的渗透过于表面化。本研究不仅重视数学文化教学资源设计的理论和实践探讨，而且结合案例给予了全过程且具体的操作指导，使得数学文化教学得以落地。具体而言：一是在小学数学文化教学资源的设计理念指导下，深挖教材以及延展性材料中的数学文化教学资源；二是结合“鸡兔同笼”教学案例具体剖析，在“设计意图”中展示数学文化资源的落脚点，使得数学文化教学得以具体操作；三是能结合学生实际对数学文化教学资源进行二次创造，促进学生深入理解问题和掌握解决问题的策略，真正实现数学文化教学的价值。

当然本研究还有一些需要完善的地方，如挖掘资源时，还应多考虑其他挖掘途径，丰富数学文化教学素材。此外，在教学实施中应合理把握时间，完整呈现拓展性材料中的课外数学文化素材和二次创造的数学文化素材等。

（二）基于小学数学文化教学资源的设计与实施建议

1.广泛研读，深挖数学文化资源

教师除了仔细挖掘教材中的数学文化资源之外，还应该广泛研读相关的延展性材料，如教辅、《数学文化读本》等，深挖和整合其中的显、隐性数学文化资源。在本研究中，我们发现不仅能从教材中挖掘显性和隐性数学文化资源，还能从扩展性材料（教参）中提炼数学文化资源，为数学文化教学奠定基础。

2.深入剖析，重构数学文化资源

在深入挖掘数学文化资源后，应结合学生的认知水平和教学的实践情况，对数学文化资源进行相应的重构，使学生从感知知识上升到理解知识，实现运用知识解决问题的教学目的。如本课例先以“鸡兔同笼”内容为例展开探究，其次为了加深学生对知识本质的理解，对“鸡兔同笼”问题进行二次创造，形成“植树”问题，实现数学文化资源的重构。

3.自主探究，发挥学生主体意识

在数学文化教学中，教师在引导之余应大胆放手让学生自主经历提出问题、发现问题、分析问题和解决问题的过程。这样做，不仅能使学生了解数学知识的来龙去脉，还能促进学生发挥主体意识，独立思考问题，提升数学思维能力。如本次课例中，教师重视学生主体意识的培养，大胆放手让学生自行探究解决“鸡兔同笼”问题的四种方法，发现方法之间的联系和区别，从而更好地理解知识的本质，并学会对比分析选用合适的解法，感受数学的优化思想。