论导数在不等式证明中的应用

得清王么

摘要：纵观近几年全国各省的高考试题，用导数证明不等式依然是考试的热点、重点、难点。本文以近年来高考相关题型为例，利用导数来研究函数的单调性、最值、极值，进而解决不等式问题。

关键词：导数;高考;不等式;应用

函数是高中数学的主干内容，是历年数学高考的考查重点，导数作为选修课进入新课程，为研究函数提供了有力的工具，也为解决函数问题提供了更为广阔的空间。代数以函数为主干，导数与函数、不等式的结合是热点。从另一个角度看那就是近年来，在高考试题中，存在一个整体趋势那就是：不等式的证明往往与函數、导数、数列等的内容综合起来出题。属于在知识网络的交汇处设计的试题，有一定的综合性和难度，突出体现对理性思维的考查，特别是利用高中新增内容的导数来证明不等式，体现了导数的工具，也是与高等数学接轨的有力点。

在国内外，导数的引入是高中数学学习的一次革命性实践，利用导数证明不等式能够体现导数的工具性和导数应用的灵活性。不等式的证明由于题目较为抽象，证明方法繁多，一直都是学生学习高等数学的难点，掌握导数在不等式中的证明方法和技巧对学生学习高等数学有着很大的帮助。本文将通过一些高考实例，来说明利用导数证明不等式的基本方法。

1.利用函数的单调性证明不等式

在证明不等式时，我们可以根据不等式的特点，恰当地构造一个函数，首先用导数证明该函数的单调性，然后再用函数的单调性达到证明不等式的目的，也就是把不等式的证明转化为了证明函数的单调性。

函数的单调性问题包括确定函数的单调区间、证明不等式、确定方程根的个数和证明某些命题。其中对方法和技巧要求较高的是证明不等式，证明不等式的关键是要引入一个函数。引入函数的方法有多种，最简单的是将不等式的一边移到另一边构成辅助函数，较复杂的则需根据对不等式特征的观察加以确定，因而有一定的技巧，需要通过大量做题、多加练习才能掌握。

2.利用函数图形的凹凸性进行证明

虽然函数的凹凸性在高中数学中不做要求，但它经常在考试中作为新定义型的题目出现，下面利用这种方法证明不等式，相信这种方法可以让大家做此类题时减少很多运算，节省很多宝贵的时间。

所以 ，原等式成立。

函数的凹凸性在不等式的研究中很重要，而不等式的证明最终归结为研究函数的特性，所以研究函数的凹凸性就显得十分重要，我们可以结合导数和函数的凹凸性来证明不等式。

从以上几例可以看出，导数不仅是证明不等式的重要思想方法，也是判断函数的单调性、求函数极值、最值等的重要思想方法。它在解决数学有关问题中起到工具的作用。 尤其在高考中这一解题思路是非常重要的，可以为考试节省很多宝贵的时间。随着课程改革的不断深入，导数的应用必定会越来越广泛，将会在社会的各个方面都会利用到，这就需要我们加强对导数的利用，让学生深刻体会到导数在解决不等式证明方面的应用性、灵活性、工具性。

参考文献

[1]人民教育出版社中学数学室  普通高中课程标准实验教科书《数学》 （选修2—2）， 人民教育出版社  2007

[2]尚肖飞，贾计荣  利用导数证明不等式的若干方法[J]，太原教育学报，2002

[3]朱家俊  导数知识在不等式证明中的应用[J]，镇江高专学报，2008

[4]周晓农  导数在不等式证明中的应用[J]，金筑大学学报，2000

[5]2007—2019全国数学高考真题，学科网