一道不良结构高中数学试题的解法分析及教学启示

柳汉伟

摘  要：高中数学学习过程中，学生会遇到很多逻辑性强、复杂多变的结构试题。在以往常规教学中，学生接触最多的都是良好结构数学试题，而是将不良结构试题视为开放性试题、拓展性试题或是无解试题。随着素质教育的深入实施，高中数学教师更新教学理念和教学模式过程中，认识到了不良结构试题对于培养学生逻辑思维和数学问题意识的重要性，以及通过传授学生不良结构试题解题思路和方法，可以极大的提高学生解题的能力。基于此，本文立足高中数学试题教学，以一道不良结构试题为例对解法展开分析，并结合自身教学经验论述了一些教学启示，皆为优化高中数学试题教学，提高学生的解题能力。

关键词：高中数学;不良结构试题;解法分析;教学启示

中图分类号：G633.6    文献标识码：A    文章编号：1992-7711（2020）35-075-01

前言

近年来，不良结构试题逐渐受到高中数学教师的重视，并在实践教学中印证了培养学生数学逻辑思维能力、数学问题意识以及提升解题能力的效用。但对于多数学生而言，由于在小学、初中阶段接触不良结构试题较少，缺少解题思路和解题方法，导致在高中学习阶段面对不良结构试题时不知所措。因此，需要高中数学教师在实践教学中，传授学生不良结构解法和分析问题的思路，在解题过程中培养学生逻辑思维能力，从而达到提高学生解题能力的目的。

一、不良结构试题及特点

在高中数学试题中，主要将问题的解题方法、解题过程、解题思路、解题条件、数量关系等不确定、不清晰等視为不良结构试题，而并非指试题本身不正确。通过结合自身教学经验以及对不良结构试题的深入研究，在此总结不良结构试题具有以下特点：

1.试题的条件、目标、数量关系不确定或不清晰;

2.试题的解题方法、过程、思路不固定或具有多样性;

3.试题信息转化成数学问题时，解题或是答案具有开放性;

4.试题设问与构成问题的基本要素无关，答案不是唯一或是无解;

二、不良结构试题例题及解法

（一）不良结构试题例题

已知：

1.b1+b3=a2;

2.a4=b4;

3.S5=-25;

若等差数列{an}前n项和是Sn，{bn}是等比数列，如果此时从已知条件中任选一个，结合b1=a5;b2=3;b5=-81，是否存在k满足Sk>Sk+1，并且Sk+1

（二）不良结构试题解法

这是一道典型的条件、目标不良结构的高中等比数列试题，其解题方法、过程、思路具有多样性的选择。

首先，对于此不良结构例题，教师可以从等差数列前n项和公式进行引导。下面我们以选择条件是1为例，对解法和解题过程进行分析。

解题的关键点是引导学生将b2=3;b5=-81放在等比数列中，列出公式bn=b2（-3）n-2=3*（-3）n-2，先得出b1=a5=-1.如果选择条件是1，由b1+b3=a2，可得a2=-10，这时可以求得公差d=（a5-a2）/3=3，a1=a2-d=-13，从而列出Sn=na1+n（n-1）/2*d=-13n+n（n-1）/2*3=（3n2-29n）/2。此时Sk>Sk+1可以转化为（3k-29）k/2>[3（k+1）-29]（k+1）/2;Sk+1

其次，对于此不良结构例题，教师可以从等差数列通项公式进行引导。对此，需要先假设k存在，Sk>Sk+1，此时应满足Sk>Sk+ak+1，从而ak+1<0;Sk+10。这里我们仍以选择条件1为例，结合b1=a5=-1;1+b3=a2=-10;a1=a2-d=-13，可得an=3n-16，综合求得k为4，可以满足ak+1=a5<0，并且ak+2=a6>0.（选择条件2和3，解题方法和思路类似）

小结：虽然例题命题的主要目的是等差与等比数量基本量的计算，解题过程和方法比较简单，但试题条件需要补充，解题方法也不是固定一种，具有不确定和开放性等特点。这样的不良结构试题解题方法也是从公式、不等式、和大小对比来进行数学问题转化，然后从已知条件入手进行假设解题。即可以作为学生日常思维发散练习题，也可以作为考试加分题展现在学生面前，需要学生具备较强的逻辑思维能力、清晰的解题思路和自主分析能力才能顺利解题。

三、不良结构试题例题教学启示

（一）加强基础知识教学

高中数学试题，无论是良好结构试题，还是不良结构试题的解题方法和思路都是建立在已知和已学知识基础上的，然后结合基本概念、公式、原理进行推导和求解。所以加强对学生基础知识教学才是关键点，只有夯实学生基本知识，才能培养学生灵活运用概念、公式等进行解题。比如前文解法中从等差数列前n项和公式以及通项公式入手，都是借助等差与等比数列计算基本量实现顺利解题的。因此，加强基础知识教学，提升学生运用概念知识和公式进行解题，才能高效开展不良结构试题教学来提升学生的解题能力。

（二）抓住解题关键步骤

高中数学不良结构试题并非是错误题型，它具有多样性的解题方法，类似于良好结构试题一题多解，但不同的是前者具有不确定性和条件缺少特点。所以在对面不良结构试题时，教师要循序渐进引导学生认真审题和分析，抓住解题关键步骤，然后将目标转化为数学问题，再利用公式和原理进行解题。比如，例题中解题之前需要学生抓住等比数列{bn}列出公式求得b1=a5=-1，为解题过程中求公差d提供可能，这也是解题的前提和关键步骤。

总结

不良结构试题是高中数学解题教学中不可忽视的一种特殊题型，教师不能将其视为优等生专属提升能力的题型，要重视不良结构试题的教学方法和解题思路教学，以此培养学生数学思维，提升逻辑思维能力，让学生在解题的过程中能够从多视角思考问题，不断提升学生的解题能力。

参考文献：

[1]耿以卓.高中生数学解题错误原因及其纠正研究[J].中学生数理化（教与学），2018，（2）：77.

[2]周文才.刍议高中数学数列试题的解题方法与技巧[J].数理化解题研究，2020，（9）：10-11.

（作者单位：福建省泉州市培元中学，福建   泉州   362000）