基于分割法探究四面体体积的新方法

滕旭

[摘  要] 四面体体积计算是研究四面体的基本问题，文章基于分割法推导出了四面体的一个新的体积公式，并由推出的体积公式推导出了传统体积公式及三面角的特征值.

[关键词] 四面体;分割法;体积公式

■四面体中的元素及其表示

四面体为空间图形（如图1所示），因此其元素的形式比三角形的元素复杂得多，研究四面体的体积须明确其元素及表示.

1. 角

四面体中的角包括空间角和平面角，空间角包括三面角、二面角及棱面角三种，平面角指的是每个面（三角形）的内角，只有一种.

（1）三面角

四面体中的一个顶点及由该顶点出发的三条棱构成其一个三面角，四面体中共四个三面角，记作：A-BCD，B-ACD等.

（2）二面角

四面体中的一条棱及由该棱出发的两个面构成其一个二面角，四面体中共四个二面角，记作：A-BC-D，B-AC-D等.

（3）棱面角

四面体中的一条棱及与该棱相交的面构成棱面角，四面体中共八个棱面角，记作：AB-ACD，AB-BCD等.

（4）平面角

四面体中的面（三角形）的内角称为四面体的平面角，四面体共十二个平面角，记作：∠ABC，∠ACD等.

2. 棱

四面体中共十二条棱记作：AB，AC等.

3. 面

四面体中四个面记作：△ABC，△ABD等.

■分割法

1. 分割法求四面体体积的一般方法[1-5]

文献[1-5]在推导四面体的体积时均采用将四面体从平行六面体中分割出来进行计算，而计算平行六面体的体积则采用向量的混合积.

2. 分割法求四面体体积的新的方法

（1）已知二面角棱长及两个面的面积求体积

在四面体ABCD中，已知二面角A-BC-D，棱BC及两个面△ABC，△BCD的面积d，a. △ABC在BC边上的高为■为定值，所以A点在过A点BC的平行线上，同理D点在过D点BC的平行线上，现以三条平行线为侧棱，BC为高构造直三棱柱，如图2所示.

三棱柱的体积为：V=S·h=■·■·■sinA-BC-D·BC=2■sinA-BC-D，

所以四面体的体积为V■=■V=■·■sinA-BC-D.

■其他计算四面体体积的公式

1. 已知三面角及三条棱棱长求体积

在四面体ABCD中，已知三面角A-BCD，棱AC，AB，AD.

由2.2.1知：四面体的体积为V■=■·■sinC-AB-D，其中c=S△ABD=■·AB·AD·sin∠BAD，d=S△ABC=■·AB·AC·sin∠BAC，所以V■=■·■·■sinC-AB-D=■AB·AC·AD·sin∠BADsin∠BAC·sinC-AB-D;

同理：V■=■AB·AC·AD·sin∠BAC·sin∠CADsinB-AC-D=■AB·AC·AD·sin∠BADsin∠CADsinB-AD-C.

根据上述三个体积公式可知，对三面角A-BCD总有：

T■（A-BCD）=sin∠BACsin∠CAD·sinB-AC-D=sin∠BADsin∠CADsinB-AD-C？摇=sin∠BACsin∠BADsinC-AB-D？圯T■（A-BCD）=sin∠BACsinB-AC-DsinC-AB-D=sin∠BADsinB-AD-CsinC-AB-D=sin∠CADsinB-AD-CsinB-AC-D

分别称T■（A-BCD），T■（A-BCD）为三面角A-BCD的特征值1和特征值2[6-7].

2. 已知棱面角及三条棱棱长求体积

在四面体ABCD中，已知棱面角AB-ACD，棱AC，AB，AD.

设四面体在面ACD上的高为H，则H=AB·sinAB-BCD，

所以，四面体的体积为V■=■·S△ACD·H=■·■·AC·AD·sin∠CAD·（AB·sinAB-ACD）？摇=■AC·AD·AB·sin∠CADsinAB-ACD

同理：

V■=■AC·AD·ABsin∠BAC·sinAD-ABC？摇=■AC·AD·ABsin∠BAD·sinAC-ABD

根据上述三个体积公式可知，对三面角A-BCD总有：

T■（A-BCD）=sin∠BACsinAD-ABC=sin∠BADsinAC-ABD？摇=sin∠CADsinAB-ACD

3. 已知六条棱棱长求体积

除了上述已知角和棱长求四面体的体积，还可以通过六条棱长l■，l■，l■，l■，l■，l■求体积■.

若l■，l■，l■为同一面上的三条棱且其对棱分别是l■，l■，l■，则四面体体积为：

V■=■■

其中：

M■=l■l■（l■+l■+l■+l■-l■-l■）

M■=l■l■（l■+l■+l■+l■-l■-l■）

M■=l■l■（l■+l■+l■+l■-l■-l■）

M=l■l■l■+l■l■l■+l■l■l■+l■l■l■

■總结

四面体体积公式多采用向量的混合积的几何意义进行推导，运算比较复杂，本文通过三棱柱分割法简化了四面体体积公式的推导，并对四面体体积计算的方法进行了系统的总结.

参考文献：

[1]  杨世国.向量在几何中的应用[J]. 数学的实践与认识，2006，36（9）.

[2]  陶兴模. 四面体的一个体积公式及应用[J]. 数学教学通讯：中学生版高三卷， 2000（1）.

[3]  蔡树松. 四面体的一个体积公式及其应用[J]. 中学数学月刊，2002（6）.

[4]  胡仕华.四面体的一个体积公式[J]. 中学数学教学，2004（3）.

[5]  四面体的一个体积定理的证明和应用[J]. 数学通讯，1996（3）.

[6]  王永洪. 四面体的正余弦公式及体积公式[J]. 中学数学，2010（1）.

[7]  刘毅. 四面体的另一种空间角的正弦定理[J]. 数学通讯，1997（7）.

[8]  戴翔天. 已知四面体的条棱长求体积公式[J]. 中学教研（数学），1992（11）.