多元函数极值的充分条件教学过程

陈俊霞，王振纬，姚晓闺

(陆军炮兵防空兵学院 基础部数学教研室，合肥 230031)

1 引言

在大多数《高等数学》教材中，证明多元函数极值的充分条件的理论依据都是二元函数的泰勒公式[1]。但二元函数泰勒公式是选学内容，在课堂教学中，教师往往选择不证明，直接给出结论。这就导致学生往往对充分条件一知半解，只会死记硬背、套用公式，缺乏学习兴趣。为此，笔者查阅了相关资料[2-3],并结合自己多年在实践教学中的体会，整理出一种相对简单的证明方法，并在实际课堂教学中坚持启发式原则，逐步分析定理所需的条件，引导学生共同分析讨论，取得了良好的教学效果。

2 教学过程

首先要向学生说明，要证(x0,y0)为极值点，就要找到(x0,y0)的某一个空心领域，使得这个空心领域当中的任何一点(x,y)对应的函数值都大于或小于f(x0,y0)。这里的(x,y)也可以用极坐标来表示：

令

x=x0+rcosθ,y=y0+rsinθ，θ∈[0,2π]

f(x,y)=f(x0+rcosθ,y0+rsinθ)h(r,θ)，

则对于任意给定的θ∈[0,2π],h(0,θ)=f(x0,y0)。

因此，有非常重要的结论：

对于任意给定的θ∈[0,2π]、h(r,θ)、h(r,θ)-h(0,θ)均为r的一元函数。

接下来，由一元函数的泰勒公式，设h(r,θ)在r=0的某一个领域内具有二阶导数，那么有：

(1)

根据假设，由于(x0,y0)为驻点，则有：

hr(0,θ)=fx(x0,y0)cosθ+fy(x0,y0)sinθ=0，且o(r2)为无穷小量，所以对于(1)式，h(r,θ)-h(0,θ)的符号取决于hrr(0,θ)的符号。

当hrr(0,θ)恒大于0时，(x0,y0)是极小值点；当hrr(0,θ)恒小于0时，(x0,y0)是极大值点。但对于不同的θ,hrr(0,θ)，可能存在有时大于0、有时小于0的情况，那么对应的(x0,y0)就不是极值点。

接下来着重讨论hrr(0,θ)的符号。再次利用复合函数的链式法则：

hrr(0,θ)=fxx(x0,y0)cos2θ+fxy(x0,y0)cosθsinθ

+fyx(x0,y0)cosθsinθ+fyy(x0,y0)sin2θ

(2)

引导学生观察(2)式的特点，若z=f(x,y)在相应的点(x0,y0)的一个领域具有连续的二阶偏导数，则有：

fxy(x0,y0)=fyx(x0,y0)所以(2)式可以写成如下形式：

(3)

(3)式是以cosθ,sinθ为变量的二次型，

令

结合二次型的性质，H正定时，(x0,y0)为极小值点；H负定时，(x0,y0)为极大值点。事实上，对于一元函数，如果在驻点处的二阶导数大于0，那么在该点处取得极小值。如果在驻点处的二阶导数小于0，那么在该点处取得极大值。

这里可以与一元函数的极值结论作对比，引导学生体会数学统一的美感。海塞矩阵在多元函数极值中的地位，就相当于二阶导数在一元函数极值中的地位。

那么，怎样判断一个实对称阵是否正定呢？为了方便，记：

fxx(x0,y0)=A，fxy(x0,y0)=B，fyy(x0,y0)=C。

当A>0,AC-B2>0时具有极小值；当A<0，AC-B2>0时有极大值；当AC-B2<0时无极值。

这样就完成了多元函数极值的充分条件的证明。

综合以上证明过程，引导学生总结出极值的充分条件与结论，即：

若z=f(x,y)在点(x0,y0)的一个领域具有连续的二阶偏导数，且(x0,y0)为驻点，令fxx(x0,y0)=A，fxy(x0,y0)=B，fyy(x0,y0)=C，则有：

当A>0，AC-B2>0时具有极小值；当A<0，AC-B2>0时有极大值；当AC-B2<0时无极值。

3 结语

本研究围绕如何提高多元函数极值充分条件教学的有效性和趣味性展开探讨，简化了多元函数的充分条件的证明过程。通过极坐标变换，把二元函数转化为特定的一元函数，把复杂问题简单化。始终坚持启发式原则，逐步分析定理所需的条件，引导学生总结从驻点过渡到极值点的条件。综合利用二次型正定、负定的相关结论，注重与学生共同分析讨论，引导学生构造充分性的相关条件与结论。使学生能够积极思考，真正参与教学活动，体现了学生学习的主体地位，而不是仅仅会套用公式，提高了课堂的学习效率，激发了学生的学习兴趣。