变截面波形钢腹板组合箱梁剪应力计算研究

李立峰，陈今东，冯威，周聪

(1.湖南大学 土木工程学院，湖南 长沙410082；2.西安公路研究院，陕西 西安710065)

波形钢腹板组合箱梁桥充分利用混凝土承压、波形钢腹板承剪的材料特性，自重明显减轻、趋于轻型化，结构受力明确，是一种经济、合理的新型桥梁结构[1-3]。近年来，该桥型在大跨径桥梁中发展迅速，如滁河大桥、鄄城黄河大桥、桃花峪大桥、头道河大桥等先后建成。随着该桥型在我国的大力推广，其设计计算方法迫切需要得到完善，特别是变截面波形钢腹板剪应力计算问题。目前，国内外学者认为波形钢腹板组合箱梁桥的弯曲剪应力主要由波形钢腹板承担。但大量的试验研究表明，混凝土顶、底板也承担了相当一部分剪力[4-10]，在计算腹板剪应力时不能简单地采用简化剪应力公式，否则将产生很大的误差；另外，由于变截面的影响，梁底线形对腹板承剪比也将产生显著影响，需要对其进行进一步优化。基于此，本文参照变截面预应力混凝土箱梁的剪应力计算公式[11]，从弹性微元段的受力平衡出发，计入轴力、弯矩和剪力的共同作用，同时考虑梁底线形的变化，推导波形钢腹板组合箱梁的腹板剪应力计算的一般公式。并结合有限元分析，验证计算公式的准确性，并分析梁底线形对腹板剪应力计算的影响以及腹板承剪比[12]的影响，为波形钢腹板桥梁设计提供方便。

1 剪应力的简化计算方法

计算波形钢腹板箱梁剪应力时，其简化方法通常有如下基本假定：

1)剪力由波形钢腹板承受、忽略混凝土顶底板的作用；

2)剪应力沿高度方向均匀分布。

这样，腹板的剪应力可直接由式(1)求得：

式中：τ为波形钢腹板剪应力；Q为截面的剪力；Aw为波形钢腹板的抗剪面积，b和h分别为截面上波形钢腹板的总厚度和高度。

2 等截面剪应力计算方法

采用简化剪应力计算方法可以大大简化设计过程，同时保有一定的安全系数。但随着跨径的增大，混凝土顶、底板厚度相对腹板高度而言一般不能忽略，在设计时宜考虑顶、底板的影响，即采用经典的剪应力计算公式：

式中：S为混凝土顶(底)板的面积矩；I为截面的惯性矩，忽略波形钢腹板的抗弯惯性矩。

波形钢腹板承剪比例ω可按式(3)计算：

式中：QS为钢腹板承担的总剪力；AS为钢腹板的总面积。

3 变截面剪应力计算方法

随着波形钢腹板桥梁跨径的进一步增大，波形钢腹板桥梁普遍采用变截面代替等截面。大量的试验研究表明，此时变截面箱梁中顶、底板参与抗剪的程度远大于等截面箱梁，同时截面轴力、弯矩和梁底线形对剪应力会产生较大影响。因此，沿用简化方法和等截面方法会导致很大的计算误差，故有必要对考虑轴力、弯矩共同作用和梁底线形影响的剪应力计算公式进行重新推导。

3.1 基本假定

在变截面波形钢腹板桥梁的剪应力计算中，通常做出如下假定：

1)混凝土顶、底板的正应变符合“拟平截面假定”，忽略波形钢腹板的抗弯能力；

2)剪应力在波形钢腹板上沿高度方向均匀分布。

3.2 公式推导

选取变截面箱梁的一个微段进行分析，如图1所示。微段横截面的重心连线的水平倾角为α，梁高的水平倾角为β，微段底板横截面的重心连线水平倾角为Φ，在微段上作用有轴力N、弯矩M以及剪力Q。为简化计算，将截面的混凝土顶底板按照惯性矩相等等效为矩形截面如图2所示。

图1 变截面微段受力图示Fig.1 Variable cross-section micro-element force diagram

图2 矩形等效截面Fig.2 Equivalent rectangular section

结合图1，由内力平衡可以得出：

根据材料力学公式可知，截面上任意位置的正、剪应力为：

式中：A为截面面积；y为剪应力计算点到顶板的距离；h1为截面形心到顶板的距离；I为截面的惯性矩；T为计算位置以上区域的轴力，在不考虑波形钢腹板承担轴力作用时，其轴力的作用点在顶板上，故

式中：A1和S1分别为计算截面内自计算部位至顶板上缘间的面积及其对形心轴的面积矩。

假定轴力N在微段dx范围内无变化，即dN/dx=0，综合式(5)和式(6)可得剪应力τ：

从式(8)中可以看出，变截面波形钢腹板的剪应力不仅仅与截面剪力Q有关，同时还受弯矩M以及轴力N的共同影响。本文主要关注波形钢腹板的剪应力，故其剪应力计算点取在波形钢腹板上，即t1＜y＜h-t，在忽略波形钢腹板面积时A1=A2、S1=S2，此时式(8)中的各参数计算如下：

将式(12)～(19)代入式(9)～(11)中，可将式(8)化简为：

式中：A2和S2为混凝土顶板的面积以及其到形心轴的面积矩；A3和S3分别表示形心轴以下空心部分面积及其对形心轴的面积矩。

此时腹板所承受的剪力以及其承剪比为：

在桥梁设计中，梁底线形通常为线性变化或者抛物线变化，以桥梁跨中截面到根部截面为X轴，自顶面向下为Y轴，可假设底板厚度和梁高变化方程分别为：

可求得其变化率为：

式中：t3(h3)和t0(h0)分别表示桥梁根部和跨中截面的底板厚度(梁高)；n为梁底线形的指数；a和b为常数。

式(20)为波形钢腹板桥梁的腹板剪应力计算通用公式，当β=Φ=0时，变截面箱梁变为等截面，此时KN=KM=0，即等截面箱梁中腹板剪应力只受剪力的影响，不承担弯矩和轴力的效应，波形钢腹板剪应力计算公式简化为：τ=QS/Ib，即等截面剪应力计算式(2)。

4 算例分析

本文结合一座实桥为算例，分析其在悬臂状态下的受力状态、验证以上公式的正确性。为了简化计算，混凝土顶底板的处理采取面积等效的原则，换算顶、底板为矩形截面。该桥截面为单箱双室变高度箱梁，墩顶处箱梁梁高7.5 m，悬臂端部梁高3.5 m；箱梁顶宽19.25 m，底宽12.5 m，悬臂长度为3.375 m，如图3和图4所示。箱梁采用C55 混凝土，波形钢腹板采用1600 型(见图5)、材料为Q345C，厚度在12～24 mm 之间变化。

大桥梁底线形采用2 次抛物线变化，为验证上述抗剪公式的准确性，同时对比梁底线形变化对结构剪应力受力和钢腹板承剪比的影响，在保证端部和根部截面底板厚度、梁高不变的情况下，改变梁底线形，分析1 次，1.5 次，1.8 次以及2 次抛物线这4 种常用线形对变截面波形钢腹板桥梁的抗剪影响。

图3 桥梁立面图Fig.3 Bridge elevation

图4 横截面图Fig.4 Cross section

图5 单位波形钢腹板Fig.5 Unit wave steel web

4.1 有限元模型

本模型采用ANSYS 通用软件进行建模，混凝土顶、底板和零号块采用六面体单元模拟，波形钢腹板采用板单元模拟，并保证2 种单元耦合，忽略剪力连接件的滑移影响。全桥单元尺寸保持在0.2 m以内。线弹性有限元模型如图6所示。

图6 有限元模型Fig.6 Finite element model

4.2 荷载工况

为精确分析梁底线形变化对波形钢腹板剪应力以及其承剪比的影响，分别取以下2 个工况进行分析；

1)集中荷载工况：在悬臂端部施加2 200 kN(4个轴重)的集中荷载，不计结构自重，仅分析集中荷载的影响。

2)自重工况：仅考虑自重影响。

利用式(20)计算悬臂梁腹板剪应力时，此时轴力N=0，故公式可简化为：

为提高对比结果的准确性，分别选图7的8 个关键截面进行对比分析。

图7 典型截面图Fig.7 Typical section

图8 正应变沿梁高分布Fig.8 Normal strain along the beam height distribution

4.3 公式假设的验证

本文首先通过分析结果验证2 个假设的可靠性。限于篇幅的影响，本文仅列出梁底线形指数n=1时，截面3，5 和7 在集中荷载工况下的正应变以及剪应力结果，如图8和图9所示。

图9 剪应力沿梁高分布Fig.9 Shear stress along the beam height distribution

从图8可以得出，在不考虑波形钢腹板正应变时，混凝土顶、底板正应变分布符合“拟平截面假定”；由图9可知，在抗剪方面，波形钢腹板沿梁高方向剪应力几乎不变。因此可以看出式(20)的2个假定是合理的，符合理论实际的。

表1 集中荷载工况下腹板剪应力结果Table 1 Web shear stress results under concentrated load condition MPa

4.4 腹板剪应力的对比分析

在剪应力计算中采用式(29)计算得到腹板剪应力的理论值；在有限元分析中腹板的剪应力沿板厚方向相差极小，沿板厚方向可认为均匀分布，本文取其板外表面的剪应力均值作为有限元值。

在2 种工况下，4 种线形的钢腹板剪应力结果列于下表1和表2。

由表1和表2可知，式(29)的计算的剪应力结果与有限元值吻合良好，最大误差均在6%以内，故可在工程实际中运用，以简化设计难度。

表2 自重荷载工况下腹板剪应力结果Table 2 Web shear stress results under self-weight condition MPa

这样，结合表1和表2可列出腹板剪应力分布与梁底线形的关系，如图10所示。

由图10可知：

1)在集中荷载作用下，同一截面处钢腹板剪应力以4 种线形的斜率相等点为界，两边呈现出相反的趋势；从悬臂端部到跨中截面随着梁底线形指数n值的增加而逐渐增大，在越过斜率相等点后，腹板剪应力逐渐减小。

2)在自重工况下，同一截面处钢腹板剪应力变化趋势与集中荷载一致；但是腹板剪应力沿纵向的变化幅度，随着n值增加而逐渐趋于平缓，对结构更加有利。

4.5 腹板承剪比的对比分析

按照式(24)计算出2 种工况下4 种梁底线形的腹板承剪比情况，对比分析其与梁底线形之间的关系。

这样，结合表3和表4可列出腹板承剪比分布与梁底线形的关系，如图11所示。

图10 腹板剪应力变化图Fig.10 Web shear stress change diagram

表3 集中荷载工况下腹板承剪比表Table 3 Web shear ratio table under concentrated load condition

表4 自重工况下腹板承剪比表Table 4 Web shear ratio table under self-weight condition

图11 钢腹板承剪比分布图Fig.11 Web shear ratio change diagram

由图11可知：

1)从端部截面到根部截面，腹板承剪比呈现出不断减小的趋势；在同一截面上，随着n值变大，从端部到跨中截面，腹板承剪比逐渐增大，在越过跨中截面向根部支点截面发展过程中，腹板承剪比逐渐减小。

2)在集中荷载工况下，腹板承剪比整体变化明显，当梁底线形为折线(指数n=1)，腹板承剪比在82%～65%之间变化，变化幅度比较平缓；n=1.5 时，在90%～30%之间变化；而n=1.8 和n=2 时，腹板承剪比相差较小，在90%～10%之间变化。

3)在自重作用下，腹板承剪比集中在85%～50%之间，当梁底线形的指数n=1 时，腹板承剪比在80%～65%之间变化，变化幅度比较平缓；n=1.5时，在85%～60%之间变化；而n=1.8 和n=2 时，腹板承剪比相差较小，在85%～50%之间变化。

结合3.3 节和3.4 节来看，在变截面波形钢腹板箱梁中，自重作用下，随着波形钢腹板截面所承受的剪应力的增大，其承剪比却不断减小，在n=1.8和n=2 时尤为明显，究其缘由，在于两者的变截面效应要大于其他，变截面引起的“附加剪力”多占比重更大。

5 结论

1)式(20)为变截面波形钢腹板桥梁剪应力计算通用公式，其计算结果相对简化以及等截面剪应力计算公式更加精确，且与有限元结果吻合良好，误差在6%以内，可在设计中采用，以简化设计难度。同时，变截面波形钢腹板箱梁的剪应力不仅仅只受其截面剪力影响，同时受到弯矩和轴力在变截面效应下产生的“附加剪力”影响，且此影响不能忽略。

2)变截面波形钢腹板箱梁的腹板承剪比例受梁底线形影响明显，在自重作用下，腹板承剪比在85%～50%之间变化，且随着钢腹板所承受剪力的增大其承剪比不断减小，两者呈现出相反的趋势；随着梁底线形指数n的增大，同一截面处的腹板承剪比以斜率相同点为界，呈现出相反的变化趋势，从斜率相同点截面到支点截面，n越大腹板承剪比越小；现有桥梁多采用n=1.8 和n=2 进行设计，自重作用下支点截面的腹板承剪比在50%左右，与目前存在的定性描述80%以上有所差异，因此，目前的桥梁支点截面的钢腹板强度和稳定性均有很大富余，明显偏于保守。