Fourier级数在GNSS精密星历插值中的应用

于国强

中国电建集团华东勘测设计研究院有限公司·浙江华东工程安全技术有限公司 浙江 杭州 311122

1 前言

一般用户接收到的导航电文的星历精度不高。IGS(Inter national GNSS Ser vice)的全球几大数据中心提供精密星历数据,但是发布的星历间隔一般在5 min至15 min,而接收机采样频率一般都小于30s,因此两者时间不一致,需要将精密星历数据进行采用,以满足高精度定位需求。

目前应用比较广的插值方法有Lagrange多项式插值,切比雪夫多项式拟合,Neville插值以及牛顿插值法。本文选取9阶模型。但是每日的最后15分内,由于没有外推数据,插值效果一般较差,出现分米甚至米级误差。为解决这个问题,采用两种方法：1)采用当天数据进行外推预测;2)利用第二天的数据,拼接在一起进行插值。实验表明,方法二的精度比方法一要好,但是方法二要求星历数据必须连续,如果某颗卫星中断了,无法得到结果,存在较大局限性。本文探索利用Fourier级数来提高第一种方法的精度。

2 Fourier级数插值

导航卫星在太空中,受多种引力影响,其运动规律满足开普勒第三定律,是一个不严密的椭圆形轨道;卫星在空中是一个平滑的、周期性的运动过程;下图1展示了2019年8月24日的GPS星座PRN01卫星运动轨迹,从图中能明显看出周期性和平滑性。

图1 地球坐标系下卫星运动特点图Fig.1 Movement Characteristic of Satellite in Earth - fixed Coordinate System

在数学理论中,对于任何一个符合周期运动的物体,只要它满足符合狄利克雷收敛定理[1],就一定能够采用Fourier级数对其进行分解。本文采用这个定理对GNSS卫星星历数据进行Fourier级数展开。

任何一个周期运动,根据狄利克雷收敛定理可以展开如下形式：

式中(a,b)为函数一个周期的值域。

函数f(x)的展开式需要明确a0,ai,bi(1≤i≤n)具体形式。通常采用如下公式进行求解：

(1)滑动式数据选取

为了提高结果精度,准确匹配待求坐标和精密星历中的数据时间是关键,保证待插值点始终处于中间位置,但这也造成在当日星历文件中的最后15分钟只能依赖前面数据进行外推。本文采用的外推策略称为“移动窗口法”。

(2)确定Fourier系数

坐标三分量(x,y,z)是时间的函数,本文以x坐标为例进行讲解具体插值方法。精密星历坐标与其对应的历元时间有如下关系：

上式中,XTJ表示某一选定精密星历(TJ历元)X 坐标值;TJ是XTJ对应的精密星历历元时间;n代表Fourier级数展开的阶数;

利用选定的数据,有：

解线性方程组即可得到待求系数a0,ai,bi(1≤i ≤n)。Y,Z坐标值的插值函数系数也可以按照同样方法求得。

(3)根据给定插值时间,利用插值函数求得对应星历坐标。

根据上述,利用所求参数,确定待插值精密星历的时刻为t,有：

式中,表示t时刻的卫星X 坐标。其他两坐标分量Y,Z依据相同方法获得。

3.算例分析

对本文中的方法设计实验进行验证,采用间隔十五分钟的2019年8月24日GPS精密星历数据。本文采用的实验卫星为GPS的PRN01号卫星。

本文采用9阶多项式对2019年8月24日GPS星历数据进行插值研究。从表1结果分析,采用Lagrange 9 阶多项式插值方法计算的结果RMS＝1.4c m,而外推的最大误差接近6d m。Fourier级数插值阶数取4时,精度达到最好,平均均方根误差为3 mm,外推最大误差为9 c m。

通过实验,发现无论是内插还是外推,Fourier级数插值相比传统多项式插值优越一个数量级。

傅里叶插值方法结果精度比滑动滑动拉格朗日多项式插值内插精度更高,尤其在数据开始和结束部位。

4 结语

本文研究了一种顾及GNSS卫星实际物理运动模型。对比传统的滑动Lagrange多项式插值,Fourier级数插值法无论是插值精度,还是算法的复杂度有相当优越性。