数学游戏24点可行性最小值证明及通用算法

徐 品

(南阳农业职业学院，河南 南阳473000)

24点是一个数学益智游戏，传统24点的规则是任意取4个1～10的整数，用加、减、乘、除(可加括号)把这4个数算成24，每个数必须用一次且只能用一次。24点有助于发展学生的逻辑思维，使学生在学习中游戏，在游戏中学习，一题多解还可以加强学生举一反三的能力。24点有其独特的数学魅力和丰富的内涵，简单易学，通常用扑克牌上的数字来进行计算。扑克数学游戏的特点是教育功能性较强、趣味性强、易操作，游戏要素是参与者、工具、主题和规则。 经过实践发现，24点游戏有助于提高学生的专注力和心算能力。

1 游戏推广及意义

在传统24点的游戏规则下，有解率为87.47%，也就是平均每抽八组数字就有一组算不出24点。游戏中只有固定几个较难的题目，例如：①1，3，4，6。②1，4，5，6。③1，5，5，5。④1，6，6，8。⑤3，3，7，7。⑥3，3，8，8。⑦4，4，7，7，有时需要用到分数去解题。24点小游戏更多考验的是心算的快、精、灵、全，比较锻炼思维能力，但游戏时常会随着无解组合的出现而结束。对此，本研究尝试设计出一种新的游戏规则：一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，J，Q，K，A均代表1点，可随意抽取9张牌，利用加、减、乘、除(可加括号)把牌面上的点数算成24。

2 主要结果及其证明

主要定理：任意在1～10中(包含1、10)的9个数在用且仅能用一次的规则下均可通过加减乘除(可加括号)得到24。为证明这个定理，提出了以下引理：对于满足2≤x1≤8,4≤x2≤10 的1,1,1,x1,x2，这5个数可通过四则运算得到24。

证明过程分四步：

(1)2≤x1≤6,4≤x2≤9。一方面，2个1和x1可得到3和4，5≤x2≤9和1可得到6或8，故5≤x2≤9可以得到24；另一方面，3个1可以和x1得到6，故1,1,1,4,x1可以得到24。

(2)x1=7,4≤x2≤9。1和x1可得到6，两个1和4≤x2≤6可得到4，再通过如下计算可得(2)成立：

(7×7-1)/(1+1)=24

(1+1)×(7+1)+8=24

(1+1)×9+7-1=24

(3)x1=8,4≤x2≤9。由于3个1和4≤x2≤9可得到3，故(3)成立。

(4)2≤x1≤8,x2=10。通过如下计算可知(4)成立：

(1+1+10)×1×2=24

(3-1+10)×(1+1)=24

(1+1)×10+4×1=24

(1+1)×10+5-1=24

(1+1)×(1+6)+10=24

(1+1)×7+10×1=24

(1+1)×(8-1)+10=24

主要定理的证明：对于9个1～10的整数，设其为x1≤x2≤…≤x9，现得出以下结论：

结论一：几乎都可得到3个1(只有一种例外情形)。现设计出以下算法A：(i)检查1点数量，若1点数量大于等于3，则取出3个1，结束。(ii)若有相同的点数，将点数相除得到新点数1，返回(i)。若没有相同的点数，取相邻最近的两个点数的差得到新点数1，返回(i)。由抽屉原理可知,若点数为2～10的数量大于等于6，则存在相邻的牌点数小于等于1，那么以上算法中只有1，1，2，4，6，8，10这一组数不能得到3个1，但却有1+1+2-4+6+8+10=24。

结论二：可以得到1，1，1，y1,y2,y3。对于其他情况，先挑出3个1，然后用算法B可以得到3个1和y1,y2,y3。算法B如下：(i)若只有3个点数，结束。(ii)若最大数与最小数之和小于等于10，则将二者相加，返回(i)。 若最大数与最小数之和大于10，则取大数减小数(差为0时相除)，返回(i)。

结论三：1，1，1，y1,y2,y3可以计算出24。由算法A可知，挑出3个1后最少还剩3张牌，再由算法B可知，每经过一次循环，点数的数量或牌数就会减少1，故通过算法B最终得到1，1，1，y1,y2,y3。可以设y1≤y2≤y3，若y1+y3≤8，则有y1+y3≥2.根据引理可知1,1,1,x1+x3,x2可得到24。若y1+y3≥9，分为两种情形：①|y3-y1|≥2,由引理可知1,1,1,x3-x1,x2可得到24。②|y3-y1|≤1,则x3≥5. 若y1,y2,y3中有一个在{6，7，8，9}中，则将另两个数相减或相除可得到1，从而可由以下计算得到24，6和4个1可得24，7、8、9和1可得8，再和3个1可得24。

6×(1+1+1+1)=24

(1+1+1)×(7+1)=24

(1+1+1)×(8×1)=24

(1+1+1)×(9-1)=24

剩下只需计算y1=y2=y3=5和y1=y2=y3=10。这两种情况可由以下计算得出结论：

(5-1)×5+5-1×1=24

(10+1+1)×(10/10+1)=24

由上可知，任意点数为1～10的9张牌可通过加减乘除(可加括号)得到24。

推论：在点数为1～10的一堆牌中，任取多于9张牌均可通过加减乘除(可加括号)得到24。

证明：由算法A和算法B可以得到1，1，1，x1,x2,x3。算法A只有例外情况会形成1，1，2，4，6，8，10，算法B的例外情况是得到4个1和两个大于1的数，从对两种例外情况的讨论和定理的证明过程来看，该推论显然成立。

上述推论说明，任意拿到超过9个1～10的整数通过加减乘除(可加括号)都能得到24，即拿到任意一堆牌，只要牌的张数大于等于9，则肯定可以通过加减乘除(可加括号)得到24。

3 通用算法

受主要定理证明过程的启发，得到了超过9个数算24的一般算法，算法详情如下：

第一步(步骤①②)：得到3个1，例外情况会形成1，1，2，4，6，8，10，若是例外情况，则有1+1+2-4+6+8+10=24。①检查1点数量，若1点数量大于等于3，则取出3个1，结束。②若有相同的点数，将点数相除得到新点数1，返回①。若没有相同的点数，取相邻最近的两个点数的差得到新点数1，返回①。

第二步(步骤③④)：3个1之外得到3个数，例外情况是得到4个1和两个大于1的数，可以通过4×6=24，3×8=24，(1+1)×(9-1-1)+10=24，1+1+1+1+10+10=24得到结果。③拿出3个1，若只剩3个数，结束。④若最大数与最小数之和小于等于10，则将二者相加，返回③。若最大数与最小数之和大于10，则取大数减小数(差为0时相除)，返回③。

第三步(步骤⑤)：3个1和另外3个数算24。⑤给定1,1,1,x1,x2,x3，容易计算24点，算法结束。

第一步的例外情形是因为算法A在出现1，1，2，4，6，8，10这7个数时不能再生成3个1，而其他情形均可得到3个1。第二步的例外情形是得到1,1,1,x1,x2,x3,x4后(可设这几个数按递增顺序排列)，若x1+x4>10且x4-x1≤1，就会得到1,1,1,1,x2,x3。

利用1,1,1,x1,x2,x3计算24点的详细方法为设x1≤x2≤x3，若x1+x3≤8，则有x1+x3≥2。根据引理可知1,1,1,x1+x3,x2可得到24。若x1+x3≥9，分两种情形：①|x3-x1|≥2,由引理可知1,1,1,x3-x1,x2可得到24。②|x3-x1|≤1，则x3≥5。若x1,x2,x3中有一个在{6，7，8，9}中，则将另两个数相减或相除可得到1，从而可由以下计算得到24，6和4个1可得24，7、8、9和1可得8，再和3个1可得24。

6×(1+1+1+1)=24

(1+1+1)×(7+1)=24

(1+1+1)×(8×1)=24

(1+1+1)×(9-1)=24

剩下只需计算x1=x2=x3=5和x1=x2=x3=10。这两种情况可由以下计算得出结论：

(5-1)×5+5-1×1=24

(10+1+1)×(10/10+1)=24