Koch曲线的Hausdorff测度的改进上界估计

郭东亮

(中山大学 电子与通信工程学院，广东 广州 510006)

在分形几何研究中，分形的Hausdorff维数与Hausdorff测度的确定非常重要[1].对于一般集合来说，计算其Hausdorff测度难度很大，不存在普遍适用的计算方法.满足开集条件的自相似分形集由于具有严格的自相似性，其Hausdorff维数和Hausdorff测度的计算相对简单，因而研究成果最多.Cantor集、Koch曲线和Sierpinski垫片是3个经典自相似集，目前三分Cantor集的Hausdorff维数与Hausdorff测度已经得到完全解决[1]，但Koch曲线和Sierpinski垫片的Hausdorff测度则难以计算出准确值，只能估计其上下界.本文在已有研究成果基础上，通过构造更加精细的新覆盖并利用相关定理，得出Koch曲线的Hausdorff测度的更好上界估计.

1 Koch曲线及其Hausdorff测度

1.1 Koch曲线

设K0是Euclid平面R2上的单位线段[0,1]，将K0三等分，以中间的1/3线段为底边作正三角形，再去除底边的内部，得到一条由4个长度为1/3的边组成的折线，记为K1，对K1的每个边重复上述过程，得到42个长度为1/32的边组成的折线，记为K2，重复以上过程，得到折线序列K0,K1,K2,…,Kn,当n→时，此折线序列趋于一条曲线K，称其为Koch曲线，它是典型的规则分形.关于Koch曲线K有如下一些相关定义和结果[1-2]:

(1)K是由压缩比为1/3的相似压缩定义的，其Hausdorff维数s=log34.

(2)设n≥1，Kn中夹角为60°的相邻两边构成一个正三角形，称作Kn的基本三角形，并记作△n.

(3)K是路径连通的，设点A、A′∈K，记AA′为K上从点A到点A′的连通弧.

1.2 相关引理

引理1[1]由Hausdorff测度Hs(K)的齐次性知

引理2[2]设U⊂Rn为可测集，|U|>0，F是满足开集条件的自相似集，则

2主要结果及证明

图1所示为K的局部图形，其中，|AA′|=1/3，点A、O、A′为K1中的折线点，点E、E′为K2中的折线点，B、D、F为K4中的折线点，文献[2]正是基于K4构造了七边形BDEOE′D′B′作为覆盖(E′、D′、B′分别为E、D、B关于直线OO′的对称点)，考虑K上的连通弧BB′，推导K的Hausdorff测度上界.将点B附近的图形放大，得到图2，在属于K4的边FB上生成属于K5的正三角形△GHI，再在属于K5的边GB上生成属于K6的正三角形△JLM，文献[3]和文献[4]分别将九边形JMDEOE′D′M′J′作为新覆盖(M′、J′分别为M、J关于直线OO′的对称点)，并考虑K上的连通弧MM′，推导出K的Hausdorff测度的更好上界.

图1Koch曲线局部示意图(K4) 图2Koch曲线局部示意图(K6)

Fig.1LocalsketchofKochcurve(K4)Fig.2LocalsketchofKochcurve(K6)

放大边LB段的图形，得到图3，其中正三角形△NPQ属于K7，正三角形△RST属于K8，文献[5]基于K7上的连通弧构造新覆盖，将K的Hausdorff测度上界进一步减小至Hs(K)≤0.587 697，该上界是已公开发表文献中的最好上界.

图3 Koch曲线LB段局部示意图(K8) 图4 Koch曲线W-N-S段局部示意图(K10)

Fig.3LocalschematicdiagramofLBFig.4LocalschematicdiagramofW-N-SsectionofKochcurve(K8)sectionofKochcurve(K10)

定理Koch曲线K的Hausdorff测度Hs(K)<0.587 650.

证明放大边W-N-S段的图形，得到图4，其中正三角形△XYZ属于K10，将11边形NXZDEOE′D′Z′X′N′作为新覆盖(N′、X′、Z′分别为N、X、Z关于直线OO′的对称点)，记为U，并考虑K上的连通弧ZZ′，易见K∩U=ZZ′.下面分析本文提出的新覆盖U的直径.

由于基本三角形△i的一条边的长为1/3i，i=1,2,3,…，因此有

由图4可以算得

因此，新覆盖U的直径仍是|DE′|.

由引理1，得

由引理2，得

此为迭代至K10时，Koch曲线K的Hausdorff测度的上界估计值，也是目前已知的最好上界.

3 结 论

通过构造更加精细的新覆盖，研究了新覆盖与Koch曲线的交集对应的连通弧，并利用相关定理计算出了Koch曲线的Hausdorff测度的更好的上界估计值Hs(K)≤0.587 650.