四驱电动汽车驱动力分配阶梯式模型预测控制

(浙江工业大学 信息工程学院，浙江 杭州 310023)

随着燃油汽车使用成本的提高和尾气排放造成的环境污染问题愈发严重，绿色环保节能的电动汽车受到了广泛关注[1-2]，其中，轮毂电机四轮驱动电动汽车是未来新能源汽车的重要发展方向。在四轮驱动电动汽车中，电机直接驱动车轮实现四个轮子的独立控制，这将大大提高车辆的驾驶性能和经济性能[3-4]。由于四轮驱动电动汽车的每个车轮有独立的驱动源，面临的一个关键问题是如何在保持车辆直线行驶的同时实现四轮之间驱动力的协调分配，使车辆能够安全稳定行驶[4-5]。目前，相关学者针对这一问题开展了研究并已取得了一些有效的成果。例如，Johansent等[5]对驱动力分配控制问题及其研究现状进行了详细的分析和总结；Xu等[6-7]基于前后轮的轮胎负荷比，将前轮与后轮按固定比例分配驱动力控制；Mokhiamar等[8]研究车辆稳定性，通过加权系数自适应的方法实现四轮驱动电动汽车驱动力的协调分配。上述几种方法可保证车辆的行驶稳定性，但没有考虑车辆驾驶的经济性。Jeongmin等[9-12]采用先进控制技术处理驱动力分配问题，基于不同的控制方法提出了多种有效的控制策略，如基于滑模控制的驱动力分配、基于模糊逻辑控制的驱动力分配和基于鲁棒控制的驱动力分配等。为处理四轮驱动力分配中的约束控制问题，Zhao等[13]提出了基于模型预测控制的四轮驱动电动汽车的前轮转向角和牵引力分配的分层控制方法；而Lin等[14]基于模糊策略提出了驱动防滑与横摆稳定集成控制设计；续丹等[15]提出以经济性为目标的转矩分配策略，在满足稳定行驶的前提下，尽可能降低车辆燃油消耗；Siampis等[16]通过上层利用滑模控制计算横摆力矩，下层利用数学规划的罚函数组成的偏航力矩控制偏移，将驱动系统的能量损失和滑移率作为约束，用于车轮转矩控制分配。现有大多数控制方法采用分层控制方法求解驱动力分配问题，笔者考虑直接求解驱动力分配问题。

在现有电动汽车四轮驱动力分配控制中，模型预测控制由于具有显式处理被控系统约束和性能优化的优势[17-18]，已成为求解当前电动汽车四轮驱动力分配问题的一种主流控制方法，但现有电动汽车四轮驱动力分配模型预测控制方法没有充分考虑预测控制量在线非线性优化的复杂计算量问题，压缩优化问题的决策变量维数是降低非线性预测控制在线计算量的有效方法之一[19]，笔者采用参数化方法设计四轮驱动电动汽车驱动力分配阶梯式模型预测控制算法，将非线性预测控制优化问题的决策变量维数降低到控制变量的个数，而与预测(控制)时域无关[20]，从而可以延长预测时域，提高系统控制性能。在算法中，考虑车辆传动机构约束，以车辆直线行驶和零横摆角速度为目标设计四轮驱动力分配控制器，并将预测时域内的控制增量参数化成以阶梯形式变化，进而大大降低驱动力分配预测控制量的计算量[19]。通过与非参数化驱动力分配预测控制算法进行仿真比较，验证笔者算法的有效性和快速性。

1 驱动力分配模型与问题描述

考虑四轮轮毂电机驱动电动汽车整车模型(图1)，其中，车身主要由轮毂电机、轮胎和整车控制器组成。通常，方向盘输入转向角，通过整车控制器发送控制命令，由四个轮毂电机直接驱动四个轮子转动，此时如果没有处理好行驶约束，则当车轮左右两侧受力不均匀时，车辆很容易出现跑偏现象。笔者考虑四轮独立驱动电动汽车行驶时的直线保持控制问题，通过对传动机构动力学模型和约束实现车轮驱动力分配，保证车辆直线行驶。

图1 整车模型Fig.1 Full-vehicle model

假设车辆在单行道行驶时各车轮静止刚度相等，在车辆坐标系下建立整车七自由度动力学模型[21]，即纵向、侧向、横摆三个运动自由度和四个车轮的旋转自由度，整车模型的受力分析如图1所示。由受力分析和牛顿第二定理可得车辆纵向动力学方程为

(1)

式中：M为车重；Fw是空气阻力；CD为空气阻力系数；Av为迎面面积；vx为纵向速度；ax为纵向加速度，满足ax=dvx-vyγ，其中dvx为纵向速度偏导，vy为横向速度，γ为横摆角速度；Ff是车体滚动阻力；δ是方向盘输入角；Fxi(i=1,2,3,4)分别是右前轮、左前轮、左后轮、右后轮的纵向力；Fyi(i=1,2,3,4)分别是右前轮、左前轮、左后轮、右后轮的侧向力。同理，车辆横向动力学方程为

May=(Fy1+Fy2)cosδ+Fy3+
Fy4+(Fx1+Fx2)sinδ

(2)

式中ay是车辆横向加速度，满足ay=dvy+vxγ。进一步，得车辆横摆动力学方程为

(3)

式中：Iz为横摆转动惯量；La和Lb分别为车辆重心到前后轴距离；d是车轮间距。

由于车辆轮胎侧向力与回正力矩、车轮载荷等存在非线性关系[3]，各车轮的侧向力很难作为直接控制量进行控制，因此笔者将车辆的轮胎侧向力Fyi(i=1,2,3,4)用轮胎模型计算。为了简化公式，选用轮胎线性模型，即

Fyi=Ciαi

(4)

式中：αi(i=1,2,3,4)分别是右前轮、左前轮、左后轮、右后轮的车轮转向角；Ci(i=1,2,3,4)分别是右前轮、左前轮、左后轮、右后轮的侧偏刚度。根据受力分析，前轮和后轮的轮胎侧滑角αi可通过公式计算，即

(5)

式中定义质心侧偏角β=arctan(vy/vx)≈vy/vx。

由于汽车自身物理结构的限制，车辆自身运动状态和车轮驱动力都具有约束条件。令汽车轮毂电机的最大转矩为Te max，车轮的有效半径为r。由于Fxr=Te，汽车各车轮的纵向力满足

(6)

进一步考虑汽车驾驶安全性和稳定性，要求车辆运动参量满足

-vmax≤vx≤vmax
-βmax≤β≤βmax
-γmax≤γ≤γmax

(7)

式中：vmax为最大容许纵向速度；γmax是最大偏航角速度；βmax为最大质心侧偏角。

笔者考虑四轮驱动电动汽车直线行驶保持问题，基于模型预测控制设计四轮驱动力分配控制器，考虑约束条件式(6，7)，尽可能减少各车轮驱动力之间的差值以降低车辆行驶能耗和减小车辆的侧向位移，保证车辆行驶稳定性。

2 驱动力分配预测控制

考虑四轮独立驱动电动汽车直线行驶保持问题。由于车辆直线行驶，方向盘输入角δ很小，所以令cosδ≈1和sinδ≈0。考虑整车七自由度动力学模型式(1～5)，定义状态变量为x1=vx，x2=β和x3=γ。控制输入变量为u1=δ，u2=Fx1，u3=Fx2，u4=Fx3和u5=Fx4，代入动力学模型式(1～5)，经整理，四轮驱动电动汽车驱动力分配状态空间模型可描述为

(8)

注意，为了方便控制，笔者将上式中各状态变量和控制变量作归一化处理，即各变量的取值范围缩小在0～1之间。式(8)中：系数Cr为前轮的侧偏刚度，即C1,2；Cf为后轮的侧偏刚度，即C3,4；Fmax为最大驱动力。为书写方便，将式(8)简化为

(9)

式中：x=[x1x2x3]T；u=[u1u2u3u4u5]T；

f(x)=

由于模型预测控制算法是一种基于在线优化的计算机控制算法，所以令Ts为采样周期，对四轮轮毂电机驱动力分配状态空间模型作离散化，得离散时间状态空间模型为

(10)

考虑车辆行驶时的目标车速vd，目标横摆角速度γd和目标质心侧偏角βd，并令xd=[vdγdβd]T，定义当前采样时刻k的有限步长跟踪性能指标，即

(11)

式中：整数p>0为优化时域；正定矩阵Q为加权因子，用来调节控制器的跟踪性能。进一步，考虑相邻时刻控制输入变化尽可能小，定义驱动力增量性能指标为

(12)

式中：Δu(k+i)=u(k+i)-u(k+i-1)；正定矩阵S为加权因子，可以调节四个轮子驱动力之间的差距。

为保证车辆直线行驶的稳定性，在行驶过程中需要尽可能减小车辆的侧向位移，因此定义直线行驶性能指标为

(13)

式中正定矩阵R为加权因子，可以调整侧向位移。

同时为保证模型预测控制的稳定性，定义充分大的终端罚函数为

通过选取的样本，使用以北海、南宁、钦州、防城港四市的6种商品(粮食、油脂类、肉类、烟酒类、服装鞋帽类、医疗用品类以及日用品类)在2008年—2011年期间的价格数据并对其进行相应的差分处理，南宁、钦州以及防城港三市数据求平均，从而得到相对价格指标最后经过计算到如下表：

J4(k)=(x(k+p)-xd)T
W(x(k+p)-xd)

(14)

式中正定矩阵W为充分大的加权因子，以保证优化时域终端状态趋近于目标点xd。因此，电动汽车四轮驱动力分配的总控制目标应该包括上述四个性能指标，即

J(k)=J1(k)+J2(k)+J3(k)+J4(k)

(15)

同时各个性能指标的相对重要性可以通过加权矩阵Q，S，R和W调整设定。

在模型预测控制算法中，每个采样时刻求解一个开环有限时域优化问题，其中，决策变量的维数等于优化时域和控制变量个数的乘积。在驱动力分配预测控制中，决策变量的维数为5p。显然，为提高预测控制的效果，当优化时域较大时，驱动力分配预测控制的计算量大大增加，不满足车辆行驶系统的快速性要求。通常，模型预测控制在每个采样时刻仅将最优控制序列的第一个元素应用到汽车驱动力分配控制中，其他剩余的元素将被丢弃[13]，这对于直线行驶车辆驱动力分配控制来说，有利于克服不断变化的车辆状态和其他未知的干扰。但由于驱动力分配模型是一个复杂非线性系统，对应的预测控制优化问题为非凸的非线性规划问题，在每个采样周期内求解非线性规划问题需要非常大的计算量[20]，计算时间难以确定，从而不能保证直线行驶车辆驱动力分配控制品质。由此引入阶梯式控制策略，通过预先规划未来控制输入变化趋势，参数化优化时域内的预测控制输入量，降低优化问题的计算量。

考虑当前采样时刻k，对优化时域p步内的控制输入增量作阶梯式参数化[22]，即

Δu(k+i|k)=αiΔu(k|k)
i=1,2,…,p-1

(16)

式中：Δu(k+i|k)表示在k时刻对未来第i步的预测控制输入增量；α为梯度因子，通常0<α<1；Δu(k|k)表示当前采样时刻控制增量。由此可得优化时域内的预测控制量为

u(k+i+1|k)=u(k+i|k)+αΔu(k+
i|k)=u(k+i|k)+αiΔu(k|k)

(17)

对预测控制输入阶梯式参数化后，控制器预先规划了当前采样时刻的未来控制输入趋势，则未来控制增量仅依赖于当前时刻的控制增量，从而驱动力分配预测控制优化问题的决策变量仅由控制输入个数决定，需要优化计算的决策变量维数从5p降低为5，大大降低了预测控制的在线计算量。

考虑当前采样时刻k的测量状态x(k)，将式(16)代入性能指标J2(k)得

(18)

定义汽车四轮驱动力分配有限时域最优控制问题，即

x(k|k)=x(k),∀i=0,1,…,p-1

(19)

应用SQP、粒子群等数值优化算法求解得最优解Δu*(k|k)，则定义当前采样时刻k的汽车四轮驱动力分配预测控制量，即

umpc(k)=umpc(k-1)+
Δu*(k|k)k≥1

(20)

式中控制量初始时刻值通常可取为稳态控制量。

下面给出电动汽车四轮驱动力分配预测控制器设计步骤。

Step1设置驱动力分配控制器参数Ts，p，α，Q，S，R和W；设置控制量初始时刻值u(0)。

Step2在采样时刻k，测量汽车四轮驱动力分配运行状态x(k)，在线求解最优控制问题式(19)，得最优解Δu*(k|k)。

Step3应用式(20)计算汽车四轮驱动力分配预测控制量，作用于汽车四轮驱动力分配过程。

Step4令k=k+1，返回第2步。

3 仿真与分析

为了验证笔者提出的电动汽车四轮驱动力分配阶梯式模型预测控制算法的控制效果和计算优势，在MatLab 2013a平台上进行仿真验证，并将笔者算法与驱动力分配非参数化传统模型预测控制算法进行比较，分析两种控制方法对应的控制效果和计算时间。

在仿真实验中，设置仿真时间为Tsim=60 s，采样周期Ts=0.1 s，优化时域p=5，同时取加权矩阵Q=500I3，R=50，S=I5和W=106I3，梯度因子α=0.5。仿真中车辆相关参数如表1所示[13]。进一步，设车辆初始速度6 m/s，质心侧偏角和偏航角速度都为0，车辆保持直线行驶，即初始状态x(0)=[0.2 0 0]T。考虑归一化后的速度约束-1≤vx≤1，质心侧偏角约束-1≤β≤1和偏航角速度约束-1≤γ≤1。设质心侧偏角和理想偏航角速度目标值βd=γd=0，期望车速变化曲线为车辆先加速0.6后再减速到0.2，即车辆先加速到18 m/s，之后再减速到6 m/s。两种方法仿真对比结果如图2～6所示，其中，虚线对应的是电动汽车四轮驱动力分配过程在阶梯式模型预测控制作用下的分配效果，实线对应的是非参数化传统模型预测控制作用下的分配效果。由图2～4可知：在两种模型预测控制作用下，汽车都能够按照预期驱动力分配目标实现加速和减速，同时车辆的质心侧偏角和偏航角速度波动范围很小，保证车辆在加速和减速过程能够稳定地直线行驶。尽管两种模型预测控制作用下的车辆状态变化相似，但分析图3，4可知：阶梯式模型预测控制驱动力分配所得的状态波动更小，控制效果更平稳，有利于增加车辆的驾驶舒适度。

表1 车辆参数Table 1 The parameters of vehicle

图2 车速对比图Fig.2 Comparison of velocity

图3 质心侧偏角对比图Fig.3 Comparison of side-slip angle β

图4 偏航角速度对比图Fig.4 Comparison of the yaw rate

图5 前轮转向角对比图Fig.5 Comparison of front wheel steering angle

图6 四轮驱动力对比图Fig.6 Comparison of driving force of four wheel

图5，6为汽车驱动力分配系统的控制输入曲线：图5为方向盘输入角变化曲线，可以看出非参数化传统模型预测控制算法的控制量有明显的波动，汽车直线行驶稳定时存在偏差；图6为四轮的驱动力变化对比图，显然，阶梯式模型预测控制器的驱动力变化更平缓，从而更有利于汽车的平稳行驶。

最后，对比两种模型预测控制作用下汽车四轮驱动力分配控制的单步优化平均计算时间，统计结果如表2所示，其中程序运行计算机平台为便携式计算机及处理器Inter® Core(TM) i5-2450M CPU 2.50 GHz，安装内存为4 GB，操作系统为Windows 7。从表2中可以看出：阶梯式模型预测控制的平均计算时间比非参数传统模型预测控制方法降低了约60%，从而大大降低了电动汽车四轮驱动力分配模型预测控制的计算时间，并且平均计算时间远小于采样时间，满足汽车驱动力分配快速实时控制要求。

表2 两种方法单步优化平均计算时间Table 2 The average computation time of two methods for single step optimization 单位：ms

4 结 论

考虑四轮轮毂电机驱动的电动汽车每个车轮独立可控特点，设计了一种驱动力分配阶梯式模型预测控制方法，实现了四轮驱动汽车的直线行驶稳定控制。该算法充分考虑了汽车四轮驱动力分配过程中各种性能指标和约束条件，预先规划未来时刻的驱动力控制输入，降低了模型预测控制决策变量的维数，表2验证了该策略可以有效减少MPC在线优化计算量，在满足汽车驱动力分配快速控制要求的同时提高算法的快速性，与非参数化传统模型预测控制算法比较结果表明笔者算法的有效性和优点。另外，笔者的研究结果是基于理论的研究，可为接下来进行实车研究提供理论基础。