扫码移动阅读基于切比雪夫多项式的分数控制系统数值模拟*

2020-01-13张君

煤矿机电 2019年6期

张君

(1.中煤科工集团太原研究院有限公司，山西太原 030006；2.太原重型机械设备协同创新中心，山西太原 030024；3.太原科技大学机械工程学院，山西太原 030024)

0 引言

分数微积分具有悠久的历史，广泛应用于工程、科学、应用数学和经济学等领域[1-5]。许多现实世界的问题，如物理、化学、流体力学、控制和数学生物学，可以通过建立分数本构的模型来建模[6-10]。为在分数阶控制系统求解中要求较高的计算精度，就切比雪夫多项式算法应用于分数阶控制系统数值模拟，并对切比雪夫多项式算法做了进一步的前期调研。文献[11]中为了快速精准地建立机床集合误差项数学模型，提出了一种基于切比雪夫多项式的参数化建模方法，该建模过程简单且易程序化，切比雪夫多项式的高精度使得建立的模型精度高，同时为机床设计和误差补偿提供了理论依据。文献[12]中应用了切比雪夫多项式插值代替了传统CS算法中的泰勒级数展开，得到了新的二维频谱信号的近似且推导出了完整的成像流程。该算法精度高、误差小，误差空变性弱等特点，提升了成像质量，减少了距离向分块数，验证了切比雪夫多项式算法在逼近误差绝对值和空变性上有很大的优势。文献[13]中介绍了用切比雪夫逼近多项式分析非线性电路的方法以及用计算机实现的例子,该方法不仅适用于非线性电路的分析和计算,也可用于解决其它工程上的非线性问题。文献[14]中将多项式函数最佳逼近的代数式运用在大地测量常用计算公式的最佳逼近问题，结果表明其计算速度，子午线孤长正反算为例可比相应的同精度的经典方法提高5倍至数十倍。文献[15]中采用切比雪夫多项式拟合 GPS 精密星历，结果表明最终星历和快速星历可以达到 mm 级，证明运用切比雪夫点拟合精密卫星星历方法可行可靠。文献[16]中利用切比雪夫拟合方法,在GPS卫星信号失锁情况下,对DR数据进行拟合处理,并把处理结果与未失锁情况下的GPS导航数据进行比较,验证切比雪夫拟合效果，且能获得良好的精度。文献[17]基于计算全息法检测圆柱面系统的辅助装调，提出选用切比雪夫多项式替代传统的泽尼克多项式进行系统波像差拟合，建立计算机辅助装调模型指导被测柱面装调。文献[18]中基于切比雪夫多项式具有良好的正交性质，展开公式中的幂函数数项更容易进行变分数阶微分的计算，具备了进行函数逼近处理的基础，具有形成算子矩阵的条件。该文献还进一步探讨变分数阶微分方程的数值计算方法奠定了理论基础，具有一定的工程实用价值。

由此可见，上述文献都阐述了切比雪夫多项式在求解精度上获得了较高的精度，适用的应用场合较广，尤其是针对本单位设计、生产的矿用锚杆钻机机械臂在井下打孔、上锚杆都需要较高精度的定位，该设备在井下变载荷工况下都需要高精度的定位，且均要采用分数阶控制算法设计的反馈控制系统。该系统包括受控对象模型、与其串联链接的控制器模型和负反馈连接的反馈模型,同时切比雪夫多项式拟合方法在分数控制系统数值模拟研究中有较强的理论基础和实际应用场合。因此，对于设备控制系统要解决人工生产效率低、劳动强度大的问题，非常有必要运用切比雪夫多项式算法来研究分数控制系统数值模拟计算。

1 分数控制系统概述

典型的分数反馈控制系统框架如图1所示,其中Gc(t)为分数控制器;G0(t)为分数控制器系统的传递函数;Gf(t)为分数系统的反馈环传递函数;U(t)和Y(t)a为系统的输入和输出。

图1 分数离散控制系统框架图

该分数控制系统是开关始终处于闭合状态下的连续系统，其时域模型的建立，即为:

anDαny(t)+an-1Dαn-1y(t)+…+a0Dα0y(t)=

bmDβmu(t)+bm-1Dβm-1u(t)+…+b0Dβ0u(t)

(1)

(2)

迄今为止，给出了求解分数阶微分方程的各种数值方法。这些方法包括小波法[19-20]，切比雪夫，勒让德多项式[21-22]和配方法。在文献[23]中，L. Pezza就是利用一种近似方法,来研究半线性非局部分数演化方程的部分近似能控性。在文献[24]中，Ali Lotf使用Epsilon penalty和Ritz方法的扩展，来解决一类混合边界条件下的分数最优控制问题。

本文利用切比雪夫多项式得到了分数控制系统的数值解，其组织架构如下：在第2部分，介绍了分数阶微积分的定义;第3部分给出了切比雪夫多项式的一些相关性质;第4部分介绍了数值方法和数值例子。第五部分得出结论。